Всесоюзные олимпиады по физике - Слободецкий И.Ш.
Скачать (прямая ссылка):
манометра равно 105 Па.
При последовательном соединении двух манометров (рис. 277) избыточное
давление Арх в левом колене манометра 1 будет больше pgH, так как
давление рг в левом колене манометра 2 больше атмосферного на величину
рgh:
Р2== Р0 + P8h- 0)
Поэтому
= Pg (Н + h). (2)
Сжатый воздух в левом колене манометра 2 занимает объем
У = .<; Н+Н>
2
где S - площадь сечения трубок. Первоначально этот воздух занимал объем
V = S -
2
в правом колене манометра 1 и такой же объем в левом колене манометра 2 и
давление этого воздуха было равно атмосферному (р0). Полагая сжатие
воздуха изотермическим, можно применить закон Бой-
189
ля - Мариотта:
Р 5W
Ро
js (Н + И)
откуда
Pi = 2Ро
н
'Н+ h
Умножив числитель и знаменатель в правой части этого равенства на pg,
получаем:
Р gH _
Pi = 2Р0
= 2-откуда
Так как
Ро
Ро + Р gh
PgH + Pgh 2^ Pi
(3)
Pi = VW0-
Pl Po ^ Pi'
TO
&Pi ~ Pi ~ V'2 ' Ю5 Па.
251. Обозначим через D оптическую силу линзы. Когда человек
поворачивается лицом к птице, он видит ее мнимое изображение. По формуле
линзы
------------------- == D.
d /з
(1)
Одно из изображений птицы, которое видно, когда человек стоит спиной к
ней, получается из-за отражения на обращенной к человеку поверхности
очков, а второе - при отражении от второй поверхности. При этом лучи
должны пройти сквозь линзу, отразиться от зеркальной поверхности, а затем
еще раз пройти линзу. Эго означает, что второе изображение создано
оптической системой "линза - зеркало - линза". Оптическая сила этой
системы равна
D' = D
+ D
2D + -, R
где R - радиус задней поверхности очков.
Предположим, что изображение, получающееся в результате отражения от
передней поверхности линзы, находится на расстоянии 5 м. Тогда эта
поверхность должна быть плоской, так как d = 5 м.
Для второго изображения в этом случае имеем:
2D + -. (2) R
Учитывая (1), получаем:
2 2 I I
-I - J. = D' d /2
R
/з
/ 2
Так как для линзы
1 1 / п
------------------= (ti - 1)
d fs \fs
(где R и г = оо - радиусы поверхностей линзы), то
1 1_ 1^
2d 2/,
Подставляя сюда значения R2, /3 и d, находим:
п = 1,5.
Если предположить, что после отражения от передней поверхности линзы
изображение
5
оказывается на расстоянии - м,
и провести соответствующие вычисления, то придем к нелепому результату: п
= 0,75.
252. Ответ на первый взгляд очевиден: так как звезда находится очень
далеко, то от нее на линзу попадает слишком мало энергии, которой
недостаточно для зажигания бумаги. Но при этом следовало бы также учесть,
что размер изображения звезды тоже очень мал, из-за чего энергия,
приходящаяся на единицу площа-
ди изображения, могла бы оказаться значительной и может быть достаточной
для зажигания бумаги.
Обозначим через I энергию, излучаемую звездой в единицу телесного угла
(яркость звезды), через L расстояние до звезды и через dj, диаметр линзы.
Освещенность поверхности линзы выражается формулой
?0= - • о La
Поэтому для светового потока, попадающего на поверхность линзы, можно
записать:
4 L2
Изображение звезды получается в фокальной плоскости линзы (рис. 278).
Если обозначить через а угловой диаметр звезды, то диаметр d изображения
звезды будет равен aF (где F - фокусное расстояние линзы).
Так как а (где D -диа-
метр звезды), то
d - a F F,
а площадь изображения звезды выражается так:
^ _ лег2 _ лD2f2 _ 4 _ 4L2
Поэтому для освещенности изображения звезды получаем:
Е = (r) = ' 4L2 = ]%_
S 4Z.2Jt?>2C2 D*F-2'
Отсюда видно, что освещенность изображения звезды не зависит от
расстояния до звезды! Если бы все звезды имели одинаковый диаметр и
одинаковую силу света, то освещен-
ность их изображений была бы одинакова. (Именно поэтому уличные фонари в
длинной цепочке всегда кажутся одинаково яркими.) И так как имеются
звезды, которые, имея диаметр, меньший диаметра Солнца, излучают энергии
больше, чем Солнце, то, казалось бы, что свет от таких звезд,
сконцентрированный в изображении, должен зажигать бумагу. Однако опыт
этого не подтверждает.
В приведенных выше рассуждениях предполагалось, что диаметр изображения
звезды определится геометрией прямолинейного хода лучей. В
действительности же это изображение дифракционное(рис. 279). Поэтому
угловой размер звезды равен 'k/dJl, а диаметр изображения
d! = -F, d,
где X - длина волны. Этот диаметр много больше "геометрического" (d = -
F):
L
-* = "l"1.
d dxD "
Именно поэтому освещенность изображения очень мала. Так, при = 2 см
получаем
Рис. 279
191
для углового размера светила значение - = 2,25 • 10-5.
Угловой диаметр Солнца равен 4,7 • 1СС3 рад. При "удалении" Солнца до
ближайшей звезды (L ж 4 • 1013 км) его угловой размер, определяемый
геометрией прямолинейного хода лучей, должен был бы стать равным 1,75 ¦
Ю-8 рад. Это значит, что при указанном расстоянии до светила диаметр
изображения оказывается больше его "геометрического" размера в
а 2,25 • 10~5 . о 1П"
- = --------------ж 1,3 • 1СИ раз.
d 1,75- tO-8 F
