Всесоюзные олимпиады по физике - Слободецкий И.Ш.
Скачать (прямая ссылка):
Ха*
xC2r
zx = _______. _______
V X2C2+R2
для схемы д -
Z, = VX2cl+R\Z2=VXl2+R\
Искомые параметры R и С находят, решая соответствующую систему уравнений.
209. На бусинку действуют -^
сила тяжести mg и сила Q реакции палочки. Согласно второму закону Ньютона
mg + Q = та.
Следовательно, если мы найдем ускорение бусинки, то тем самым определим
силу Q. А по третьему закону Ньютона сила
N, с которой бусинка действует на палочку, равна по модулю силе Q.
На рисунке 239, а показано несколько положений палочки. Так как в
прямоугольном треугольнике медиана,соединяющая вершину прямого угла с
серединой гипотенузы, равна половине гипотенузы, то
Рис. 237
Рис. 238
155
бусинка (точка С) находится все время на одном и том же расстоянии от
вершины прямого угла.
Итак, бусинка движется по окружности радиуса /. Скорость vc бусинки
направлена по касательной к этой окружности, а центростремительное
vc
ускорение равно -.
В любой момент времени полная скорость бусинки складывается из
горизонтальной и вертикальной составляющих.
По условию задачи скорость
>•
точки В постоянна и равна v. Горизонтальные скорости всех остальных точек
тоже постоянны, причем горизонтальная скорость бусинки равна -. Это
означает, что ускорение бусинки и сила Q направлены вертикально.
В тот момент, когда а =
= 45°, скорость vc бусинки направлена вдоль палочки, а ее вертикальная и
горизонтальная составляющие по модулю
одинаковы и равны -
(рис. 239, б). Следовательно, полная скорость бусинки в этот
момент равна Поэтому
и
а = J/2 ац=
ц V21
Из второго закона Ньютона Л/=Q = mg- ma^mfg- ^-j.
210. Давление на мост определяется уровнем воды в канале. Если по каналу
движется баржа, то, строго говоря, уровень воды повышается тем больше,
чем тяжелее баржа. Однако практически уровень воды во всем канале,
конечно, остается прежним, так как объем воды, вытесненной баржой, очень
мал по сравнению с общим объемом воды в канале.
211. Будем считать, что угловая скорость и вращения трубки меняется
медленно, так что при каждом значении со шарик находится в равновесном
состоя нии относительно трубки, а в неподвижной системе отсчета шарик
движется по окружности радиуса /0 + + А/ (где А/ - изменение длины
пружины). Так как центростремительное ускорение а = = и2 (/" + А/)
сообщается шарику силой упругости пружины, то согласно второму закону
Ньютона
та2 (/" + А/) = Гупр. (1)
Для того чтобы решить задачу, необходимо из уравнения (1) найти
зависимость А/ от ш или, что удобнее, / = /0 + А/ от тсо2.
Зависимость силы упругости пружины от удлинения пружины задана
графически, поэтому уравнение (1) мы будем решать тоже графически.
Перерисуем график, сдвинув начало координат в точку с координатой - /0
(рис. 240, а). Теперь по оси абсцисс оказывается отложенной полная длина
I пружины. Если из начала координат провести прямую линию, то
координатами точки пересечения этой прямой с гра-
156
фиком будут значения силы упругости Fynp и соответствующей ей длины
пружины /, а тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс будет равен
= тсо2.
I
и Чтобы построить график зависимости I от тсо2, проведем из начала
координат пучок прямых и отметим все точки пересечения прямых с графиком.
Затем, зная значения I и соответствующие им значения тсо2 = = tg а, будем
отмечать их на графике зависимости I от тсо2. Из рисунка 240, а видно,
что при углах а < alt т. е. при mco2 < tg aj, каждая из проведенных
прямых пересекается с графиком Fynp (/) только в одной точке. И каждому
значению тсо2 соответствует одно значение I. При аг < а < а2 прямая
пересекается в трех точках (при а = аг и а = а2 - в двух), т. е. одному и
тому же значению тсо2 соответствуют три значения I. Отметим их все на
графике.
При а > а2, т. е. при тсо2 <
< tg а2, каждая из прямых опять пересекается с графиком только в одной
точке и каждому значению тсо2 соответствует лишь одно значение I.
Соединив все нанесенные точки плавной кривой, мы получим график,
показанный на рисунке 240, б.
При mco2 < tg и при ты2 > > tg а2 каждому значению угловой скорости
соответствует одно значение /. Но при tg ах <
< mco2 < tg а2 имеется три разных значения / для каждого значения тсо2.
На каком же расстоянии от оси вращения находится шарик?
Рис. 240
Прежде всего ясно, что шарик не может находиться на таком расстоянии,
которое соответствует точке В2 графика (см. рис. 240, а). Действительно,
предположим, что по случайной причине шарик слегка отклонился от этого
положения равновесия, так что I увеличилась на Ах. Для того чтобы шарик
вращался, находясь на расстоянии / + Ах от оси, сила упругости должна
возрасти. Как видно из рисунка, в рассматриваемом случае сила упругости
уменьшается. Следовательно, эта сила не может сообщить шарику необходимое
для его движения центростремительное ускорение и шарик будет продолжать
двигаться
157
вдоль трубки к положению В3. Таким образом, точка В2 соответствует
положению неустойчивого равновесия шарика. Аналогично можно показать, что
