Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
о 0
Используя (3.42), (3.43), (3.44) и (3.45), получим:
6
| j AT dS = e | J Afr0 d<p Ay - (1 - e2) sin 2a J ю2r\dr0, (3.46)
S 0
Й
j J 4o/2dS=4e J | o/2r0d<p dr0=2ue(-i -feY* Г U%+a>rl~Jdr0-{-
s о о
ь
+ ^(3 + 2?2 + Зз*) Jr"(^)adr0. (3.47)
408 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ [ГЛ. XI
Так как на границе кругового вихря ш обращается в нуль, а в центре ш
остаётся конечной, то
d<o 1 d
lF0~2drQ
ь
ю2Гл -4- г3ш - = - - (ш2г2) о т ' 0Ш dr- о
= 0.
j ("%-l-r(r)"^)rfro = i""rS
о о
Следовательно, равенство (3.47) примет вид
ъ
J J 4"'^.S=:?(3 + 232 + 3s4)J(?Jr>0dr0. (3.48)
S о
Вводя безразмерную независимую переменную
Ь -s'
получим:
1
J I MdS - S(1-е2) sin 2а |*ш2у3rfy, (3.49)
S о
1
J J 4<o'2^(3 -(-2з2-[-Зз4)b* J ds. (3.50)
S 0
На основании (3.49) можно заключить, что указанное выше требование о
положительности интеграла от М будет выполнено, если коэффициент
преобразования з будет меньше единицы.
Обозначая отношение интегралов через k, т. е.
--j------------= к (3.51)
/
ufls^ds
и используя интегральное соотношение (3.33), получим следующее равенство
для критического числа Рейнольдса:
Uh_kh> 3 + 2s2 + 3ei коч
Ккр - - - 2р ?2(1 - g2) sin 2а *
Таким образом, значение RKp поставлено в зависимость от размеров вихря Ь,
от вида вихря е, от положения большой оси а и от распределения величины
угловой скорости вихря по радиусу a>(s).
Исследуемое ламинарное течение с прямолинейным распределением скоростей
будет заведомо устойчивым, если Ркр. определяемое
§ 3) ТЕЧЕНИЕ С ПРЯМОЛИНЕЙНЫМ ПРОФИЛЕМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ 409
равенством (3.52), будет иметь наименьшее значение. Следовательно, теперь
необходимо установить те значения параметров вихря Ъ, е, а и <" (s), для
которых правая часть равенства (3.52) приобретает наименьшее значение.
Как видно из (3.52), с увеличением радиуса вихря Ъ RBp будет уменьшаться.
Однако размеры вихря не могут быть произвольно большими, они должны быть
ограничены тем условием, что эллипс с полуосями гЬ и b должен касаться
стенок {у = h и у = 0) и при
^~ъ</////////////////с у А / **
\ ь X
\ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧч;?^^ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ Рис. 99.
этом малая ось должна быть наклонена к стенкам под углом а (рис. 99).
Используя уравнение верхней стенки
У= - tgaX-' h
и уравнение эллипса
X2 , У2 i~r
е2*2
62
2 cos а
1,
можно получить следующее равенство для квадрата наибольшего значения
радиуса вихря на вспомогательной плоскости:
(т)'
А2 _ __________________
COS2 а -(- ?2 sin2 а *
Подставляя (3.53) в правую часть (3.52), получим:
Ri
вр
COS2 а -(- е2 Sin2 а 0 ^ 3 -2е2 -{- Зе4
е2 (1 _ е2) •
sin 2а
(3.53)
(3.54)
Заметим, что при фиксированном значении е первый множитель в правой части
(3.54) принимает наименьшее значение при
, 1
(3.55)
Таким образом, положение малой оси вихря ставится в зависимость от
значения коэффициента е сжатия кругового вихря. Подставляя
410
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ
[ГЛ. XI
значение угла о. из (3.55) в (3.54), получим:
R
кр
2к
3 2г2 3?4
е(1-?2)
(3.56)
Наименьшее значение коэффициента в выражении для RKp, равное 4/6,
достигается при
г* = |(/15 -/б) = 0,475.
(3.57)
Таким образом, критическое число Рейнольдса будет теперь представляться в
виде
Rkp = 8/6 k. (3.58)
Для определения наименьшего значения правой части (3.58) будем
варьировать зависимость угловой скорости вихря ш от расстояния s таким
образом, чтобы вариация от множителя k обращалась в нуль:
Ьк - Ь
sm
у3 ds
/
(i)2 s3 ds
= 0.
(3.59)
Выполняя варьирование под знаками интегралов, будем иметь:
1 1 8 j* (u2s3rfsj = 2 J ш 8(us3ds,
(3.60)
Принимая, что на границе вихря (s = 1) вариация вихря обращается в нуль,
после интегрирования по частям получим:
L
I
d<o о d оо) . d<o " "
-г- as = -г- s3 ош ds ds ds
¦ ISlu Ts (s3 t)ds = ~ J s" Ts (s*in) ds-
0 0 0 Если выполнить варьирование дроби в (3.59) и использовать
предшествующие равенства, то найдем:
1
Приравнивая нулю коэффициент при вариации угловой скорости ш под знаком
интеграла, получим дифференциальное уравнение для
§ 3] ТЕЧЕНИЕ С ПРЯМОЛИНЕЙНЫМ ПРОФИЛЕМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ 411 искомой
угловой скорости
i(s"S)+ft"s=°- <3-62>
При подстановке
СО=у, s' = S
уравнение (3.62) приводится к известному дифференциальному уравнению для
цилиндрических функций
- й-у = 0-
Из двух решений этого уравнения берём именно то, которое остаётся
конечным при s' = 0, т. е.
у = CJt (s') = CJt (s Vk).
Таким образом, зависимость угловой скорости вихря от расстояния
представляется через функцию Бесселя первого рода в виде
<o(s)= j71(sVrft). (3.63)
Чтобы удовлетворить условию обращения в нуль угловой скорости вихря на
границе кругового вихря на вспомогательной плоскости, необходимо
положить:
^(Ук) = 0. (3.64)
Уравнением (3.64) предопределяется выбор значения множителя k. Обозначая
наименьший корень функции Jt через будем иметь:
к = кЬ
Так как из таблиц имеем:
/4 = 3,832,. а? = 14,68,
то наименьшее значение критического числа Рейнольдса из (3.58) будет
