Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
отношению к возмущениям вида (3.5). Таким образом, методом малых
колебаний не удаётся обнаружить неустойчивость ламинарного течения с
прямолинейным профилем распределения скоростей.
Выше было проведено исследование характеристического уравнения (3.19) для
случая малых значений aR при использовании (3.21). В работе Хопфа *)
проведено исследование этого уравнения при произвольных значениях aR и
при использовании асимптотических формул для других расположений точек z0
и z±. Результат этих исследований сводится к тому же заключению о
невозможности обнаружения неустойчивости рассматриваемого течения методом
малых колебаний.
(3.30)
Оба уравнения (3.30) имеют один общий корень
(3.31)
zt = х, (3 = 0.
I R[3 = (a R)% - a2 = - x2 - a2,
(3.32)
Ч Hopf L., Der Verlauf kleiner Schwingungen auf einer StrOmung reiben der
Fliissigkeit, Annalen der Physik, т. 44, 1914.
§ 3] ТЕЧЕНИЕ С ПРЯМОЛИНЕЙНЫМ ПРОФИЛЕМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ 405
Обратимся теперь к применению энергетического метода к исследованию
устойчивости ламинарного течения с прямолинейным профилем распределения
скоростей.
Как уже было указано в § 2, при примененении энергетического метода
исследования устойчивости ламинарного течения вопрос сводится к
исследованию интегрального соотношения
JJ [М - 4чо/2] dS = 0,
s
где для случая плоско-параллельного течения
/ дх/
(0=3-
дх
ди'
"ду'
(3.33)
(3.34)
Интегрирование в (3.33) проводится по площади, на границе которой
проекции вектора скорости поля возмущений обращаются в нуль.
Для случая прямолинейного профиля распределения скоростей имеем
Uy h '
и, =-
V,
О
(3.35)
и для критического значения числа Рейнольдса получим из (3.33) следующее
выражение:
. (3.36)
R -Uh-
jju'x/
dS
Так как левая часть (3.36) и числитель в правой части всегда
положительны, то знаменатель должен иметь отрицательное значение, а это
значит, что проекции и' и v' должны в большинстве точек внутри площади 5
иметь противоположные знаки. Такой именно случай будем иметь, например,
тогда, когда траектории частиц в поле возмущений будут представлять собой
подобные эллипсы, малые оси которых наклонены к положительному
направлению оси х под некоторым углом (рис. 98).
Итак, будем предполагать, что поле возмущений обусловлено наличием
эллиптического вихря с центром на средней линии между параллельными
стенками, малая ось которого составляет с направлением
Рис. 98.
406
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ
[ГЛ. XI
скорости основного течения угол а. Введём новые оси координат,
совпадающие с осями эллиптического вихря. В этих новых осях X и Y
проекции вектора скорости основного течения на основании (3.35) и формул
преобразования координат будут равны
(3.37)
cos а ^26sin а -)- Y cos а -)- ^, vx = - sin а ^26 sin cc -)- Y cos а -)-
.
Используя выражения (3.37), будем иметь:
ди, U . " dv, U . п
дХ~~ 2hSm ' dr- ~2hSm '
dut dvt _ U 9 dr +5T-XC0S 2a'
Л4 = - ~ [(и'2 - г"'2) sin 2a + cos 2a], (3.38)
где и' и т/ обозначают проекции вектора скорости поля возмущения на новые
оси координат.
Очевидно, что рассматриваемый эллиптический вихрь можно образовать из
кругового с помощью равномерного сжатия в направлении оси X. Пусть этот
круговой вихрь находится на некоторой вспомогательной плоскости с осями
координат х0 и у0, совпадающими с выбранными осями X и Y. На этой
вспомогательной плоскости проекции вектора скорости от вихря будут
представляться
в виде
и0= -шу0, v0=v>x 0, (3.39)
где со считается непрерывной функцией расстояния г0 от начала координат.
При этом на границе кругового вихря г0 = Ь угловая
du>
скорость со обращается в нуль, а в центре вихря со и -т- остаются
и,ГQ
конечными.
Точке с координатами х0 и Го на вспомогательной плоскости будет отвечать
точка на основной плоскости с координатами
2б=е*0, Y = y0, (3.40)
где е представляет собой положительную постоянную величину. Будем теперь
принимать, что в рассматриваемой точке на основной плоскости проекции
вектора скорости поля возмущений равны
и' = ?И0 = -: SCOу0, v' = V0=(OX0. (3.4 I)
При таком предположении (3.41) уравнение неразрывности будет
удовлетворяться, а движение частиц в поле возмущений будет происходить по
эллиптическим траекториям.
§ 3] ТЕЧЕНИЕ С ПРЯМОЛИНЕЙНЫМ ПРОФИЛЕМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ 407
Подставляя значения а' и v' из (3.41) в выражение (3.38) для М, получим:
М = ~ ш2(а;2 - е2_у2) sjn 2а ~ Е.аУх0у0 cos 2а. (3.42)
Для вихря поля возмущений будем иметь:
2
dv' ди' dv' ди' /1 , \ , / хо . ,\ 1 (("
2ю' = ^ - ~ =
= (0(7 + е) + (? + е-У")'
' дХ дУ вдх0 ду0 \е ¦ X°J r0rfr0'
w=".(l+,)'+2.(i+,)(4+^)l^+
<3-">
Элемент площади dS на основной плоскости будет связан с элементом площади
dS0 на вспомогательной плоскости соотношением
dS = zdS0. (3.44)
При интегрировании по полярному углу <р найдём:
2т: 2п 2 " 2т:
/ xld9- = / rl cos2 <Р <*<Р = "г", J_y2 dcp = J r* sin2 <p rfcp = w2,
0 0 0 0
2т: 2т:
J хоУо dt? = roJ s>n ? cos <p rfcp = О, K3.45)
0 0
2т: 2т: 2т:
J < d? = j J Уо dv = f <' j х1у1 = x ¦
