Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
то будем иметь:
ОО
f е'Р' Ж d' ~ ( ~ Vr^ = ° -+-V* - ~V0 + v*r>
(3.18)
(3.19)
и задача решения уравнения (3.16) при граничных условиях (3.17) сведётся
к следующей задаче для изображения:
,2 * d'vr
d^
Р_
k
+
l(d<) .
dv,.
ПРИ ? = 0 = °>
(3.20)
при = a vr - 0.
Общее решение уравнения (3.20) будет представляться в виде
(3.21)
Чтобы удовлетворить первому граничному условию (3.20), необходимо
постоянную В приравнять нулю. Определяя вторую постоянную из второго
граничного условия (3.20), получим:
Л _ V"aP
(p+"[V lsh Vt ""ach Vt*]
§ 3] РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ПЛОСКОМ ДИФФУЗОРЕ 36? Таким
образом, решение задачи для изображения будет иметь вид
V,-
Удяр
ch
Р+ 1
V 7sh/ l"-ach V
(3.22)
Обращая преобразование Лапласа, получим для самой радиальной скорости
следующее интегральное выражение:
a+ too
vr(l <р) =
УрЯ
2тс/
ch
Yj'~cbY т* tp
и
а - too
V 7sh l^la-achVA|-a
Раскладывая подинтегральное выражение (3.23) на простые дроби, будем
иметь:
Y(P) F\ (Р)
ch
V Y j
YYY ;
T+2
р+1
р +
т = 1
Р Рт
где рт связаны с корнями трансцендентного уравнения
tgT=T
соотношением
(3.24)
(3.25)
(3.26)
Коэффициенты с и ст будут представляться в виде следующих равенств:
с =
(/>+1)/Т (/>)"] _
Y (Р)
Y (Рт) _ И'ЛРт)
1 1Г Ьс,-
Ф a
cos -- cos -
Y k_____________уk
-шГ1Г • u u
У k sin -- a cos -
Yk Yk
2k
/ T
f cos ~Z
\
cos tm
•-1 .
(3.27)
368 РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
Подставляя разложение (3.24) и равенства (3.27) в (3.23) и вычисляя
простейшие интегралы, получим для радиальной скорости выражение
О (COS -~r=. - COS -
vr _ V Vk
Vu *гт , a a
у k sin -- a cos -yzz
Yk Yk
COS^--[m,
* i w* " im \ _c
+ 2Y-5-!--------(1----------- )e - (3.28)
1 j \ COS fm J
Если от переменного l перейти к переменному г, то радиальная скорость из
(3.28) будет представляться в виде
( ? о I cos -
vr \ Y к
а \
COS -7-=
Yk Yk/ r0
a r 1
Vu ,/T , a u
V k sin -- a cos -
Yk Yk
COS 1m -j-
(3.29)
m~ 1 k *0'
Подставляя (3.29) в (3.12), получим:
a
sin
df __ pQ2 . (x /dvr\ __ pQ2 p-iy-
p_______________________________/?______________,
dr 4aV3 ar2\d<p/a 4a2r-3 /Лд-з ^sin _Л_ _ a cos
/А /А
СО 9 , ^ tM
2jJ.t/0 ^ ft*. /А*п\аТГ
<3-30>
a2r-2
' 7
i" = l a 1m
Выполняя интегрирование в (3.30) и подставляя в (3.5), будем иметь для
давления:
а
cos -=
о --п -L^4_e2i_______________________._______
Р Pco-f- г "Г8аг2 _ а а
Yk Sin -7= - О COS
Yk Yk
СО f
VT fm (го\к
kr оА 4
m~ 1 ^2
(у) *\ (3.31)
где рсо-постоянная интегрирования правой части (3.30).
§ 3] РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ПЛОСКОМ ДИФФУЗОРЕ 369
Из вида правой части (3.29) заключаем, что радиальная скорость на
бесконечном удалении от входа в диффузор обращается в нуль, как и должно
быть в силу конечной величины расхода. Вследствие этого постоянная
интегрирования должна представлять собой давление на бесконечности в
диффузоре.
Полагая в (3.31) г = г0, получим следующее выражение для давления на
входном сечении рассматриваемого диффузора:
, 21^о , PQ2 1 , 2|W0 ^ +
А> = РооН-------------Нп-:-о-----------Нт->J--5г- (3-32)
/•" 8 *rQyktgJ±__a kra?^_4_
Найдём конечное выражение суммы (3.32).
Раскладывая функцию
F(x) - Fl(x) - х2
F2 (а) 1 - х ctg х
на простые дроби 4 будем иметь:
СО
/>(*) = 3+ 2 [^гт(~-----н±) +
К(~гт) + ,тя
где Ym - корни уравнения (3.25). Выполняя вычисления, получим:
СО
¦ 3 + 2*" У 1 V',
'¦и X- Y .
1 - л: ctg х ^х^
s т = 1
ИЛИ
а
2
S+r=~g+1 + , /* . • (МЗ)
га=1 к Гт tg у*' ут
Заменяя я через /я, будем иметь:
а
ЗА .
2 V ^ ---1--!^. (3.34)
а2 2 а а а
м = 1
a' + y;,! th Vk
i) Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 111, Гостехиздат, 1939,
стр. 443.
370 РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ жидкости [гл. X
Составляя разность левых и правых частей (3.33) и (3.34), получим:
2 "
Yk
M=1 & tg yk Yk
Таким образом, разность давления на входном сечении диффузора и на
бесконечности будет представляться в виде
1 а
Л>~%- = _ и--2-&-г-Ч- - • (3-35)
-р= - th -- го о
Yk у k
При исследовании функции
th х
у=1
х
можно обнаружить, что её значение меньше 0,5 при л; <1,92 и больше 0,5
при л; > 1,92. Следовательно, при выполнении неравенства
-?=< 1,92 (3.36)
у k
давление в начальном сечении будет превышать то давление, которое имеет
место на бесконечном удалении от входа в диффузор.
Если ввести число Рейнольдса так же, как оно вводилось при
рассмотрении движения в плоском диффузоре в § 10 главы
IV, т. е.
в виде отношения полного расхода к кинематическому коэффициенту вязкости
R = v ' (3-37)
то на основании обозначений (3.15) будем иметь:
*-R '
(3.38)
Подставляя (3.38) в (3.36), получим следующее неравенство для числа
Рейнольдса:
R < 1Г • (3-39)
Таким образом, при сравнительно небольших значениях чисел Рейнольдса, не
превышающих значение правой части неравенства (3.39), давление у входа
будет больше давления на бесконечности, и поэтому течение жидкости будет
происходить в сторону падения давления.
