Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
формулировать не будем.
Вид граничных условий (10.6) даёт некоторое основание к тому, чтобы
искать функцию тока в виде произведения квадрата синуса
$ 10]
ДВИЖЕНИЕ ШАРА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
343
на неизвестную функцию от радиуса и времени, т. е.
ф = sin2 0 F(R, t).
(10.8)
При таком предположении дифференциальное уравнение (10.5) и граничные
условия (10.6) и (10.7) представятся в виде
\д№
И (дЧ' 2F\
dt\dR* R4
2 F
при R = a -^ - V0
( <?2 2 \ (d*F
при R - oo = 0,
R2
JL dF_ R dR
LUi1
R dR
2F
' R*
Y-
- V0, : 0.
(10.9)
(10.10)
К данной задаче применим метод преобразования Лапласа. Вводя обозначение
e-PfF{R, t) ¦
F*
(10.11)
и проводя преобразование Лапласа над уравнением (10.9) и граничными
условиями (10.10), получим:
/d*F 2F\ , d*F* 2F*
I:dR* R'i)t=odR* Ri
2 F*
при R = a - - V0,
F*
при R = oo -=2 = 0,
2\1 d^F1' 2 F*
Я2)' KdR* R*
1 dF* Vo>
R dR -
1 dF* = 0.
R dR
У-
(10.12)
(10.13)
Пользуясь неопределенностью начальных условий, потребуем, чтобы первое
слагаемое (10.12) обращалось в нуль, тогда дифференциальное уравнение
(10.12) запишется
<10Л4)
Если ввести обозначение
m-r^+h)=t- (,0,5)
то дифференциальное уравнение (10.14) представится в виде
о
dR* R^
Общее решение этого последнего уравнения будет иметь вид
/=^ + С2/?2.
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
Таким образом, для изображения F* будем иметь следующее не-
однородное дифференциальное уравнение второго порядка:
zS-f"('+l) = 7f + c^a- (10Л6>
Проверкой можно убедиться, что частным решением уравнения (10.16) с
правой частью будет выражение
-j(j? + c-2R2)-' 0°'17)
С помощью подстановки
F* = yYR
однородное уравнение для F* можно привести к уравнению Бесселя
dR*^ R dR y\'4^AR2j
Решение этого уравнения представляется через функции Бесселя дробного
порядка от мнимого аргумента
y=,Ahl^Ryr ?) + BKVt (/?/" ?).
Таким образом, полное решение дифференциального уравнения (10.16) будет:
F* = VR^Ah,^Ryr ?)^-BKv,(Ryr + (10.18)
Чтобы удовлетворить условию (10.13) на бесконечности, необходимо
постоянные А и С.' приравнять нулю. Функция К3/ (х) представляется в виде
= (i + i).
Следовательно, решение (10.18) будет теперь:
n -RV -¦ В jC
R
Используя граничные условия (10.13) на самой поверхности шара, получим
уравнения для определения постоянных Вг и Cj
§ 10] ДВИЖЕНИЕ ШАРА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 345 откуда получим:
Таким образом, решение уравнения (10.16), удовлетворяющее всем граничным
условиям, будет иметь вид
Г = + (10.19)
2 L \fp pr) r rYp Rpi
Проводя обращение преобразования Лапласа (10.11), получим:
Q + icO г~-
пи. 0=^ J
(r) -г оо
"О-20'
В теории операционного исчисления1) доказывается, что асимптотическое
значение оригинала при бесконечно больших значениях независимого
переменного t можно получить с помощью разложения самого изображения в
окрестности той особой точки на плоскости комплексного параметра
преобразования р, для которой действительная часть этого параметра имеет
наибольшее значение. В рассматриваемом нами случае такой особой точкой
изображения (10.19) служит точка, для которой р = 0. Если показательный
множитель (10.19) представить в виде
г(Я_0))f$=l_(R_a)yr+ а?._
то из (10.19) будем иметь:
(O,-"0 = -jeV0(3/? -(10.21)
Учитывая (10.8), получим для функции тока при бесконечно больших
значениях времени следующее выражение:
(*)"->" = -^(ЗЯ - f)sm20. (10.22)
Правая часть (10.22) совпадает с правой частью (6.12) главы V. Таким
образом, полученное решение (10.20) при возрастании времени
!) Лурье А. И., Операционное исчисление и его приложения к задачам
механики, Гостехиздат, 1951.
346
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
до бесконечности вырождается в решение задачи Стокса об установившемся
движении шара в неограниченной вязкой жидкости.
При проведении решения задачи о движении шара мы не сформулировали точно
начальное условие. Начальное распределение скоростей мы можем получить из
самого решения (10.20). Для этого достаточно найти выражение для
изображения при стремлении параметра преобразования к бесконечности.
Полагая в (10.21) р = оо и учитывая (10.8), получим следующее выражение
функции тока для начального момента времени:
(^o=~5sin20' (10-23)
Правая часть (10.23) представляет собой выражение для функции тока при
движении шара в идеальной жидкости. Следовательно, установленное выше
решение (10.20) имеет место при том начальном условии, что распределение
скоростей в момент начала движения совпадает с распределением скоростей
при движении шара в неограниченной идеальной жидкости.
Заметим, что дифференциальное уравнение (10.5) можно представить в двух
эквивалентных формулах:
0($-vD*) = °,
(?-vD)D* = 0.
Поэтому решение уравнения (10.5) можно в ряде случаев искать в виде суммы
двух функций:
ф = + ^2> (10.24)
из которых первая является решением дифференциального уравнения
параболического типа
| = (10.25)
а вторая представляет собой решение уравнения эллиптического типа
