Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
диполь действует сам на себя. Поскольку истинное поле обращается на
каждом диполе в бесконечность, мы видим, что ряд (4.37) в этих точках
должен расходиться, в результате чего и возникает необходимость в
специальных процедурах. Последние рассматриваются в гл. 9, § 4, и.
приложении 4 и составляют характерную черту метода Эвальда. Хотя
подробности этого метода нам здесь не понадобятся, мы можем кратко
изложить его суть. Эвальд заменяет точечные диполи непрерывным
распределением поляризации с пиками гауссового вида около точек,
отвечающих расположению диполей. Разложение для вектора Герца при этом не
расходится, т. е. вектор Герца не обращается в бесконечность ни в одной
точке. Фактически ширина гауссового распределения может быть выбрана
такой, чтобы ряды, соответствующие (4.37), сходились значительно быстрее.
Затем, чтобы учесть тот факт, что истинный потенциал обращается в
бесконечность на диполях, добавляется еще одно распределение поляризации,
равное распределению точечных диполей минус непрерывное распределение.
Векторы Герца для обоих этих распределений очень быстро убывают с
расстоянием, так что можно найти поправку к выражению вида (4.37) и
получить правильную сумму, суммируя только по очень малому числу
ближайших соседей.
Случай, рассматриваемый нами в приложении 4, относится к предельной
электростатической задаче, но по существу он дает также и то, что нам
требуется здесь. Это предельный случай, для которого величины со/с, кг и
пренебрежимо малы по сравнению с Кл. Можно показать, что тогда сумма всех
членов разложения (4.37), за исключением главного, приводит к
электрическому полю следующего вида:
Е'=iSt ехр ^ ^ + Л|)'г^' ^4-45)
Выражение (4.45) получено для точки кубической симметрии в кубическом
кристалле. Оно относится к положению атома в простом кубическом,
гранецентрированном или объемноцентри-рованном кубическом кристалле или к
структуре алмаза, цинковой обманки или хлористого натрия. Объединяя это
выражение с формулой (4.42), получаем, что электрическое поле в точках,
где находятся атомы, для всех перечисленных случаев составляет
Р Г - 1 1 1
Электрическое поле = - [ j _ (k,+ ik,)2 + j] ' <4'46)
128 tл. 4. Теория диэлектриков по Друде - Лорентцу и Эвальду
Далее можно продолжать, как и в случае (4.20); замечая, что, согласно
(4.44), первое слагаемое в (4.46) есть обычное среднее электрическое поле
Е, получаем
Р = + NktIm ¦ (4-47)
\ 3ео/ * "ft
Итак, мы пришли к тому же результату, что и в методе Лорентц- Лоренца.
Такое подтверждение результата Лорентца путем точного вычисления поля в
точках, где находятся атомы, для кристаллов кубической симметрии
представляет собой частный случай. Это - максимум того, что дает метод
Лорентца, в то время как метод Эвальда можно применить также и к точкам,
не обладающим кубической симметрией. Следовательно, по такой схеме можно
рассчитать диэлектрические проницаемости кристаллов, различные в разных
направлениях, а значит, получить и двойное лучепреломление. К сожалению,
как отмечается в следующем параграфе, этот изящный метод, позволяющий в
принципе получить весьма подробные сведения о двойном лучепреломлении, до
сих пор использовался сравнительно мало.
§ 4. Теория дисперсии в изолирующих кристаллах
Прежде чем переходить к достижениям изложенной выше теории в применении к
реальным кристаллам, мы должны установить ее связь с квантовой теорией
атомной поляризации. Как известно1), дисперсионная формула Крамерса -
Гейзенберга приводит к следующему квантовомеханическому выражению для
наведенного дипольного момента, обусловленного N атомами в единице
объема:
Момент = У ДГ(ш--2/(tm). (4.48)
п?а "L-""
Здесь предполагается, что атомы находятся в m-м стационарном состоянии;
сумма взята по всем стационарным состояниям (обозначаемым индексом п), в
которые могут произойти переходы. Угловая частота conm определяется из
условия Бора для частоты перехода из одного состояния в другое fiwnm=En -
Em. Величина fmn--так называемая сила осциллятора, которая дается
выражением
4лтщ"_ (М"_)2 Ln =----^(4.49)
') См., например: Дж. С. Слэтер, Квантовая теория атомных структур, т. 1,
изд-во "Мир", 1966, формула (6.57).
§ 4. Теория дисперсии в изолирующих кристаллах
129
где Мх - х-компонента дипольного момента атома, а (Мпт)х - матричный
элемент этой величины между л-м и т-м стационарными состояниями атома.
Формула (4.48) имеет тот же вид, что и (4.47), только величины Nh
заменены на Nfmn. Различие состоит лишь в том, что в (4.48) опущен член,
описывающий затухание. Он рассматривается в гл. 6, § 11, книги, на
которую мы сослались выше.
В соответствии с представлениями квантовой механики отдельному атому
отвечают резонансные колебания, соответствующие осцилляторам со многими
различными резонансными частотами. Каждый из них, вообще говоря, отвечает
только доле того дипольного момента, которым обладал бы классический
диполь. Иначе говоря, силы осцилляторов fmn обычно меньше единицы (иногда
