Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
оказывается наиболее удобным для квантования калибровочных полей, так как
принцип относительности учитывается в нем наиболее просто: следует
интегрировать не по всем полевым конфигурациям, а только по калибровочно-
эквивалентным классам.
В этой главе мы расскажем об общем формализме континуального интеграла.
Применению этого формализма к калибровочным полям будет посвящена
следующая глава.
§ 1. Континуальный интеграл по фазовому пространству
Мы начнем с того, что продемонстрируем основные идеи метода
континуального интеграла на примере нерелятивистской квантовой механики.
Начнем со случая системы с одной степенью свободы.
Пусть р и q - канонические импульс и координата частицы (-оо < р < оо, -
оо <z q <. оо). При операторном квантовании им соответствуют операторы Р,
Q, для которых чаще всех употребляют две реализации -
30
ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
координатную и импульсную. В координатном представлении эти операторы и
их собственные функции имеют вид
" _ 1 й
Q - x> Р~7Ж'
|<7> = в (*-</); I Р)=(^г),/2^; (1.1)
Q\q) = q\q); Р\р) = р\р).
Функции перехода из координатного представления в импульсное и обратно
даются формулами
(р1 Ч) = (-^г) h е~1рч! (<71 Р> = (-^Г )/2 е'и- (1.2)
Динамика системы описывается при помощи функции Гамильтона h(p,q). В
квантовой механике ей соответствует оператор Гамильтона
Н - h(P, Q), (1.3)
где подразумевается определенный рецепт упорядочения некоммутирующих
операторных аргументов Р и Q. Мы не будем здесь обсуждать общую проблему
упорядочения и вернемся к ней после того, как введем понятие
континуального интеграла. Формальные рассуждения, которые мы будем при
этом использовать, не зависят от конкретного выбора упорядочения. Для
определенности будем считать, что все операторы Р стоят слева от всех
операторов Q.
При таком соглашении матричный элемент гамильтониана Н между состояниями
(р |, |^) явно выражается через классическую функцию Гамильтона
(p\H\q) = h e-lP"h (p, q). (1.4)
Наша задача - вычислить оператор эволюции
U (Г, t') = ехр {- iH (t" - t')}. (1.5)
Будем вычислять его матричный элемент
(q"\U(t",t')\q') =
= (q" | exp {- iH (t" - t')} | q') = {q", t" \ q', t'), (1.6)
который можно назвать ядром оператора U в координатном представлении.
§ 1, КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ
31
Для малых t" - t' это просто сделать на основании предыдущей формулы.
Действительно, в этом случае
ехр {- /Я (/" - /')} = 1 -iH И" ~ П. (1.7) и матричный элемент {р\ U (t",
t') \ q) приблизительно равен (р | U (/", /') | q) - ("2л")1/2 e~iP4 О -
ih (Р> Ч) Г - П) =
- (ж)/г ехР ip4 - ih я) (?' - О}. (1 -8)
Ядро оператора U (t", t') в координатном представлении легко вычисляется
с помощью функции перехода
(q" | U Г, О \Я') = $ (Я" \P)(P\U (/", П I Я') dp =
= 2^ 5 ехр Ур (Я" - я') - ih (р, q') (t" - /')} dp. (1.9)
Для конечного интервала t" - t' эта формула, разумеется, не верна. В этом
случае можно поступить так. Разобьем интервал t" - i' на N частей,
считая, что
A/=i-ir- <1Л°)
достаточно мало, чтобы можно было воспользоваться предыдущей формулой для
оператора ехр {-/ЯД/}. Оператор U (t", t') выражается через ехр {-/ЯД/}
формулой
U (/", /') = (ехр {- /Я Д/} )". (1.11)
Заменяя каждый сомножитель справа его ядром и интегрируя по всем
промежуточным состояниям, получаем
{q" | U (/", /') | q') s jjexp {/ [pN (qN - qN_{) + ...
• •• +P\{qi~ qo)]~i [h(pN, <7jv-i)+ ... +h(pi, q0)]At}X
w dpN d-PN_\ dqN_j dp 1 dgx _
Л 2л 2л 2я '
здесь^ qN = q", q0 = q'.
Перейдем теперь к пределу N -> оо, Д/->0. При этом число переменных
интегрирования также стремится
32
ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
к бесконечности, и можно считать, что в пределе мы интегрируем по
значениям функций p(t), g(t) при всех t из интервала /' < t < t". На
функцию q (t) наложено условие
q{t') = q'\ q(t") = q". (1-13)
Показатель экспоненты в этом пределе переходит в интеграл
Ау = jj (р (0 q{t) - h (р (t), q (/))) dt, (1.14)
t'
т. e. в классическое действие на интервале Та-
ким образом, мы получаем основной результат: матричный элемент оператора
эволюции получается интегрированием фейнмановского функционала ехр{г'Лц}
по всем траекториям p{t), q{t) в фазовом пространстве, имеющим
фиксированные значения q' и q" при t = t' и t - i" соответственно. Мера
интегрирования формально может быть записана в виде
dp" ГГ dp (t) dq (t) /f 1C,
"aril 2S О-15)
t
т. e. выражается через произведение мер Лиувилля по всем t. Таким
образом, мы построили квантовомеханическое выражение целиком в
классических терминах - действия и меры Лиувилля.
Такой же окончательный ответ
(q", t" | q', t') = (q" | U (/", t')\q') =
= Sexp{? S (pi~h(P' <1Л6)
получился бы, если бы мы пользовались другим упорядочением операторных
сомножителей. На первый взгляд, нам удалось однозначно построить
квантовую механику целиком в терминах классических объектов, являющихся
каноническими инвариантами. В действительности это не может быть верным,
так как на квантовую механику не переносится действие полной группы
