Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
+ T ~ -Г- Ф? " V (ср) ] } П > (3.50)
X
где мы перешли к релятивистским обозначениям х = = (x,t). Переменные
ф1(х), щ{х) связаны с ср(х), л(х) по формулам (3.38).
В формуле (3.50) переменные п\ и ф полностью разделились, и мы можем явно
проинтегрировать до яь Граничные условия на П1 не зависят от a*{k) и
a(ft), так что интеграл
= $ехр{-/\\^dx)j\^p- (3.51)
представляет собой просто нормировочную константу.
Первый сомножитель в (3.50) можно опустить, переходя от ядра к
нормальному символу 5-матрицы. В результате для нормального символа
получается явно релятивистское выражение
5(ф0) = АП1 J ехр {i J dx\j -
- у т2ф? - V(ф)] | Д d<p (х), (3.52)
X
где интегрирование ведется по всем полям ф(х), имеющим асимптотическое
поведение, описанное формулами
(3.45) - (3.48), причем
ф1(х) = ф(х) -ф0(х). (3.53)
Из сравнения (3.45) и (3.16) мы видим, что ф) имеет следующее
асимптотическое поведение
"¦w " Ш* J *'(й)L W+^
(3.54)
АЗ и
Ik X
54
ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
где ф2 ,п (х) быстро убывают при t ->¦ + оо. Будем го-
out
ворить, что ф! (х) удовлетворяет условиям излучения Фейнмана. В
альтернативной формулировке ф1(х) не имеет сходящейся волны при t -> - оо
и расходящейся волны при t -> оо. Сходящаяся и расходящаяся волны
переменной ф (x,t) полностью определяются решением
Фо(х).
На функциях ф[(х), удовлетворяющих условию излучения, оператор Клейна -
Гордона ? + т2 симметричен:
^ Ф! (? + т2) ф[ dx = ^ [(? + т2) ф,] ф[ (х) dx =
= ~ § О^Аф! - т\^[) dx. (3.55)
Действительно, внеинтегральные члены, возникающие при интегрировании по
частям при перебросе оператора ? с ф1 на ф 1, имеют вид
5 ^з*ф дф[ ("=
= i \ d3k [b* {k) b'* (- k) е2Ш" - b (k) Ь' (- к) + ...,
(3.56)
где ... означает члены, содержащие ф2 |п . Интегралы
out
(3.56) исчезают при t" -> оо, t' -> - оо по причинам, описанным после
формулы (3.49). Таким образом, квадра тичная форма в (3.52) определена
однозначно как квадратичная форма оператора Клейна - Гордона в
пространстве функций фДх), удовлетворяющих условию излучения.
Действие оператора ? -f- т2 превращает функции, удовлетворяющие условию
излучения, в быстро убывающие функции, причем это действие обратимо.
Уравнение
(? + т.2) Ф = л, (3.57)
где ф удовлетворяет условию излучения, а г\ - быстро убывает, имеет
единственное решение,
Ф (х) = ^ Dc (х -у) ц (у) dy, (3.58)
где функция Dc(x) уже была введена выше в (3.17),
§ 3, ПРОИЗВОДЯЩИЙ ФУНКЦИОНАЛ ДЛЯ S-МАТРИЦЫ 55
Формулу (3.52) можно переписать в более наглядном виде
•S (фо) = N-1 ^ ехр | i ^ 3? (х) dx }П dq> (х), (3.59)
ф-"Ф1п *
out
где следует понимать, что квадратичная форма в действии ^ 3? (х) dx
регуляризована так, что
^ (дцФ^цФ - fn2q>2) dx =
= ^ [дц (ф ~ Фо) (5ц (ф - Фо) - т2(ф - фо)2] dx. (3.60)
Левая часть может быть формально преобразована в правую, если позволить
себе интегрировать по частям, забывая о внеинтегральных членах.
Формула (3.59) может служить отправным пунктом для схемы вычисления 5-
матрицы, несколько отличной от описанной выше фейнмановской теории
возмущений. Эта схема основана на формальном применении к интегралу
(3.59) метода стационарной фазы и называется разложением по петлям. Мы не
будем обсуждать этот метод в данной книге и ограничимся фейнмановской
теорией возмущений.
Используя (3.59), мы можем сразу же написать и выражение для
производящего функционала функций Грина через континуальный интеграл.
Поскольку Z(r\) является амплитудой перехода из вакуума в вакуум в
присутствии источника г\ (х), имеем
Z (т]) = ЛГ1 ^ ехр { i ^ [2 (х) + т] (х) ф (х)] dx }П dq> (х),
(3.61)
где интегрирование ведется по полям ф(х), удовлетворяющим условию
излучения.
Полученные формулы (3.59) и (3.61) привлекательны своей компактностью и
наглядностью. Так, представление для Z(t]) в виде интеграла позволяет
применять простые формулы анализа: интегрирование по частям, перемену
порядков интегрирования, замены переменных,
56
ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
вычисление по методу стационарной фазы. К сожалению, как мы уже говорили,
на сегодня не существует определения этого интеграла во внутренних
терминах, которое сделало бы эти формальные преобразования строгими. Тем
не менее в рамках теории возмущений формуле (3.61) можно придать строгий
смысл, используя формулу (3.27), выражающую Z(ц) в терминах вариационных
производных.
Приняв за основу эту формулу, можно строго обосновать все перечисленные
выше операции для интеграла
(3.61) в рамках теории возмущений. Это будет сделано в параграфе
пятом.
§ 4. Континуальный интеграл по ферми-полям
Описанная в предыдущих разделах техника практически без изменений
переносится на случай нескольких взаимодействующих скалярных полей, а
также на другие бозе-поля, в том числе векторные, которые будут подробно
рассмотрены в следующей главе. В этом параграфе мы покажем, что для
ферми-полей можно разработать такую схему интегрирования, что
соответствующие формулы динамики (оператор эволюции, S-матрица) будут
