Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
функции Т-сЛ, в действительности отсутствуют.
Таким образом, из предположения о сходимости интегралов, отвечающих
диаграммам порядка п, следует конечность функционала F до порядка ti -f-
1 включительно. Это означает, что сходятся также все интегралы,
участвующие в разложении функционала, стоящего в левой части уравнения
(7.20), т. е. конечны все функции Грина
1____5____\z =
2 <тт(хш) ) R
:::"?(*! ••• *")¦ (7.27)
а/
?A*i)
186 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
Фурье-образы функции G^J связаны с вершинными
а, ... ат
функциями Гр, ...ц соотношением
Gl\::.ac{k{...km)=
= gZ\{K) ... ... *m> (7.28)
а,Ь •
Все двухточечные функции Gобратимы и имеют по g порядок ^ п. Поэтому из
конечности функций
(7.27) следует
Л|*.Г ••• *т) = ф(*1 ••• *")<">• (7-29)
Вершинным функциям Гй| ц" соответствуют, вообще говоря, как сильно, так и
слабо связанные диаграммы. Слабо связанным диаграммам отвечают
коэффициентные функции, представимые (в импульсном представлении) в виде
произведения коэффициентных функций меньшего порядка, которые, по
предположению, конечны. Поэтому можно считать, что равенство
(7.29) справедливо для собственных вершинных функций порядка п + 1.
Если собственная вершинная функция имеет индекс 0 или 1, то ее
расходящаяся часть может быть лишь полиномом не выше первого порядка.
Условие
(7.29) означает, что этот полином тождественно равен
нулю, и следовательно, все функции ?"(&i ... km)
конечны. Исключение могут составлять лишь двухточечные функции Грина поля
Янга - Миллса и поля фиктивных с-частиц. Последняя вообще не участвует в
разложении (7.27) и поэтому на нее не возникает никаких ограничений.
Что касается двухточечной функции Грина поля Янга - Миллса, то поскольку
ей соответствуют диаграммы с индексом 2, расходящаяся часть Гц1^ (k)
может быть полиномом второго порядка. Условие (7.29) не достаточно для
обращения в нуль полинома второго порядка. Оно не накладывает никаких
ограничений на его поперечную часть
const {g^yk2 - kpky). (7.30)
§ 7. СТРУКТУРА ПЕРЕНОРМИРОВАННОГО ДЕЙСТВИЯ 187
Однако в нашем распоряжении есть еще два произвольных контрчлена порядка
" + 1: z(2n+,\ z^+l). Этих контрчленов достаточно, чтобы устранить
расходимости из двухточечных функций Грина. Таким образом, все диаграммы
п+1-порядка конечны. Индукция закончена.
Пусть теперь поле Янга •- Миллса взаимодействует еще со скалярными и
спинорными полями. Соответствующие лагранжианы даются формулами
(1.3.1,11). Диаграммная техника, помимо уже обсуждавшихся элементов,
содержит теперь скалярные и спинорные линии, которым соответствуют
функции Грина D(p) и S(p) с. асимптотиками р~2 и р~] соответственно,
вершины с двумя спинорными и одной векторной линией без производных,
вершины с двумя скалярными и одной векторной линией с одной производной и
вершины с двумя векторными и двумя скалярными линиями без производных.
Индекс диаграммы с Д?х внешних векторных линий, Lex фиктивных, Lgx
скалярных И Lex спинорных внешних линий равен
a = 4-Li-Llx~Llx-jLt. (7.31)
Помимо уже перечисленных выше диаграмм, неотрицательный индекс имеют
диаграммы, изображенные на рис. 13. Диаграмма собственной энергии
скалярного поля (с) расходится квадратично, диаграммы a, d - линейно,
остальные диаграммы расходятся логарифмически.
Соответствующие собственные вершинные функции имеют вид (мы опять для
определенности выписываем формулы для случая группы SU2)
r" = W + Y ^A)^ + •••>
Гф(р = (d3 + d4p2)6ab + ...,
Г"л = ^аЬс+ ....
г тА = id6eabc (k - qf + (7.32)
rWAA = d7gilv(bab6cd-6a'bbd) +
+ d,gllv(bab 6cd~f 6ac6M) + ...,
Гф. = d9 (&abbcd + бос6м + badbbc) + ...,
188 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИИ
где ... обозначают члены, стремящиеся при снятии регуляризации к
определенному пределу. Так же как и в случае поля Янга -Миллса, в пустоте
число возможных контрчленов значительно больше, чем число параметров в
неперенормированных лагранжианах.
*~Си
С)
С/ sd
'q.
f)
Рис. 13. Дополнительные расходящиеся диаграммы в теории поля Янга -
Миллса, взаимодействующего с спинорными и скалярными полями. Сплошная
линия обозначает функцию распространения спи-норной частицы,
штрихпунктирная - скалярной частицы.
Наиболее общее выражение для калибровочно-инвариантного
перенормированного лагранжиана строится так же, как и раньше, и имеет вид
2R = &YM + (Л - (Г)) ф -
- (т + d) фф + 1 г2ф (д^ - z^-'gA'r (Та) Ф)2 -
-^(т2 + /)ф2 + ^(Ф2)2, (7.33)
где 3?§м - перенормированный лагранжиан поля Янга - Миллса в пустоте
(7.13).
Калибровочная инвариантность требует, чтобы константы z-jzy^g и z^z{ g,
участвующие в ковариантных производных спинорных и скалярных полей,
совпадали с соответствующей константой g = z~'z{g, фигурирующей в
лагранжиане поля Янга - Миллса
§ 7, СТРУКТУРА ПЕРЕНОРМИРОВАННОГО ДЕЙСТВИЯ 18b
Как и раньше, условия z2^ = z^, г2ф = Zi<p не являются необходимыми.
Калибровочная инвариантность не накладывает никаких ограничений на
контрчлены d и /, перенормирующие массы полей и контрчлен zl(ф2)2.
