Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
внутренних векторных линий Lfn внутренних фиктивных линий равен
(c) - 2Lin -ф 3L[n - 4 ("4 - 1) - 3 (щ -)- пс). (7.2)
Воспользовавшись тем, что число внутренних линий Lin, Lin связано с
числом внешних линий Lex соотношением
т 4п4 + 3п3 + пс - Lex _
^in - 2 •
<7'3)
bln- 2
выразим индекс диаграммы через числа внешних линий
0 = 4 - Lex - Lex- (7.4)
Из формулы (7.4) следует, что ряд теорий возмугце-ний для поля Янга -
Миллса в а-калибровке содержит
-О-
Ь)
Рис. 9. Типы расходящихся диаграмм в теории Янга - Миллса.
конечное число типов примитивно расходящихся диаграмм. Эти диаграммы
символически изображены на рис. 9. (Формально имеется еще логарифмически
расходящаяся диаграмма с двумя внешними векторными и двумя фиктивными
линиями и расходящаяся диаграмма с четырьмя фиктивными линиями. Однако,
как видно из формулы (7.1), производную, стоящую в одной из внешних
вершин, интегрированием по частям можно пере-
176 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИИ
бросить на внешнюю с-линию. Поэтому в действительности соответствующие
интегралы сходятся.)
Диаграммы собственной энергии (а) и (6) имеют индекс 2. Диаграммы (с),
(d) имеют индекс 1, диаграмма (е) - индекс 0. По тем же причинам, что и
выше, фактический индекс диаграмм, имеющих внешние с-ли-нии, понижается
на 1. Кроме того, из соображений ло-ренд-инвариантности, все диаграммы,
имеющие индекс единица, в действительности расходятся лишь
логарифмически.
В соответствии с общей процедурой, для устранения этих расходимостей из
соответствующих собственных вершинных функций нужно вычесть несколько
первых членов разложения в ряд Тейлора по внешним импульсам. В качестве
центра разложения обычно выбирают точку, в которой внешние импульсы лежат
на массовой поверхности, поскольку такой выбор обеспечивает правильную
нормировку одночастичных состояний. Однако в случае, когда
рассматриваемая система включает частицы с нулевой массой, вершинные
функции на массовой поверхности могут содержать дополнительные
сингулярности, обусловленные расходимостью соответствующих интегралов в
начале координат (инфракрасная катастрофа). Поэтому мы будем делать
вычитания в точках, для которых значения всех внешних импульсов лежат в
евклидовой области. Для вершины с п внешними импульсами pi таковыми
являются, например, точки
pi = - а ; piPi = -^-у . (7.5)
В этих точках все вершинные функции вещественны и свободны от
инфракрасных сингулярностей.
Выпишем наиболее общие выражения для вычитаемых членов, совместные с
условиями релятивистской инвариантности и бозе-симметрии. Собственные
вершинные функции, соответствующие диаграммам, изображенным на рис. 9,
имеют следующую структуру (Здесь выписаны вершинные функции для группы
SU2. В этом случае тензорная структура по зарядовым индексам
исчерпывается тензорами гаЬс и 8аЬ. В общем случае могут присутствовать
дополнительные линейно-независи-
§ 7, СТРУКТУРА ПЕРЕНОРМИРОВАННОГО ДЕЙСТВИЯ 177
мые структуры, например, члены, пропорциональные симметричному тензору
dabc в случае группы SU3. Данное ниже доказательство перенормируемости
остается справедливым и в этом случае.):
Глл (Р) = г?у (р) = ЬаЬ {blg'pv + b2pnpv +
+ bz(p2gw- PnPv)}+
т-с(р)^таЬ(р) = ьаЬьу+ ....
Г= ГЙр (р, k, q) - ielmnbs {giv (р - k)p +
+ gvP(k - q\ + g^(q - P)v}+ (7.6)
r^c - гГ 0". k'^ = T *tmnK
r^ = ri'vp"(p, k, q, r) =
, = P {b^ile^gllpgvk + 686'76(tm)Млр} + ...
В последней формуле Р - оператор симметризации по нарам индексов (г, р),
(/, v), (m, р), (яД). Коэффициенты bi зависят от параметров
регуляризации Л, ц, и
положения точек вычитания а<; ... обозначает следующие члены разложения в
ряд Тейлора, стремящиеся при снятии регуляризации к конечному пределу.
Вычитание полиномов (7.6) эквивалентно введению в эффективный лагранжиан
следующих контрчленов:
д = |tr {+ b2 (дМ2 + h. {dvd - дм2 +
- 2b4c Dc + b5 - <3^v) [^й, d] +
+ b&cdp [s4-vl, c] -f -j- [.s^p,, J*v] s*v] J +
+ {|{tr(^p)}2. (7.7)
Число типов контрчленов, необходимых для устранения расходимостей,
конечно и, следовательно, теория перенормируема. Однако контрчленная
часть действия (7.7) содержит значительно больше параметров чем исходный
лагранжиан. При произвольных параметрах bt перенормированная теория не
калибровочно-инвариантна и не удовлетворяет принципу относительности, что
означает
178 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИИ
потерю эквивалентности различных калибровок и вследствие этого нарушение
унитарности.
При фиксированной промежуточной регуляризации значения параметров bi
зависят от выбора точек вычитания а". Мы покажем, что этот произвол
позволяет подобрать параметры 6, таким образом, чтобы перенормированная
теория была калибровочно-инвариантна.
Выясним, какие ограничения накладывает принцип относительности на вид
перенормированного эффективного лагранжиана. Прежде всего заметим, что
калибровочная инвариантность лагранжиана Янга - Миллса не нарушится, если
мы умножим его на константу. Кроме того, мы можем произвольно
