Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
от используемой промежуточной регуляризации и выбора точек вычитания. В
частности, для устранения расходимостей из двухточечной функции Грина
может оказаться необходимым введение явно неинвариантного контрчлена
где
(1.33)
(1.34)
(1.35)
Разумеется, физический смысл имеют не сами контрчлены, а
перенормированные, конечные матричные эле-
§2. R ОПЕРАЦИЯ И КОНТРЧЛЕНЫ
133
менты. Для того чтобы теория оставалась самосогласованной, необходимо,
чтобы перенормированные матричные элементы удовлетворяли принципу
относительности.
' Ь
яр
а,)
с)
Рис. 5. Поправки третьего порядка к вершинной функции Гд,.
В этом состоит специфика перенормировочной процедуры в калибровочных
теориях, исследованием которой мы будем заниматься в этой главе.
§ 2. /?-операция и контрчлены
В предыдущем параграфе мы обсудили процедуру устранения расходимостей из
простейших диаграмм. В рассмотренных примерах присутствует лишь одно
интегрирование по dk и для того, чтобы при снятии промежуточной
регуляризации соответствующие функции стремились к определенному пределу,
достаточно вычесть несколько первых членов их разложения в ряд Тейлора по
внешним импульсам. Как мы видели, такое вычитание эквивалентно
переопределению исходного лагранжиана - введению контрчленов.
Более сложным диаграммам, например, диаграмме, изображенной на рис. 6,
отвечают интегралы вида
^ / iPh • • • I Рт> &1" • • • > ^л) dki ... dkn, (2.1)
134 гл. [V. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
которые могут расходиться не только при одновременном стремлении всех ki
к бесконечности, но и при стремлении к бесконечности части аргументов ki
при фиксированных остальных. В этом случае говорят, что диаграмма имеет
расходящиеся подграфы. Для диаграммы на рис. 6 такими подграфами являются
совокупности вершин (1, 2, 3) и соединяющих их линий, и совокупность
вершин (2, 3, 4) и соединяющих их линий. Для диаграмм,
имеющих расходящиеся подграфы, простой рецепт устранения расходимостей,
сформулированный в § 1, уже недостаточен. з В этом случае решение задачи
рис б дается /^-операцией Боголюбо-
ва- Парасюка, которая ставит в соответствие любой диаграмме Фейнмана
конечную коэффициентную функцию. Подробное обсуждение /^-операции можно
найти в книге Н. Н. Боголюбова и Д. В. Ширкова, и мы не будем здесь его
повторять. Для наших целей достаточно знать, что R операция эквивалентна
введению в лагранжиан контрчленов, представимых в виде ряда по константе
взаимодействия. Для формулировки соответствующего рецепта нам понадобятся
несколько определений. Диаграмма называется связной, если ее нельзя
разбить на части, которые не соединены друг с другом линиями. Диаграмма
называется сильно связной, или одночастично неприводимой, если ее нельзя
превратить в несвязную снятием одной линии. Сильно связную диаграмму, у
которой ампутированы все внешние линии, будем называть собственной
вершинной функцией и обозначать Г(хь ..., хп). Сильно связная функция
Грина G(xь ..., хп) выражается через собственную вершинную функцию Г(хь
__________ г,,)
соотношением
G(xu хп) =
= J dx[ ... dx'nG{ (х, -<)... Gn(xn ~ х'п) Г ", .. ., х'п),
(2.2)
где Gl(xi - лТ)- двухчастичная функция Грина, соответствующая /-ой
внешней линии. Топологическую структуру диаграмм удобно характеризовать
числом незави-
§ 2. "-ОПЕРАЦИЯ II КОПТРЧЛЕПЫ
135
симых циклов, содержащихся в данной диаграмме. Диаграммы с одним циклом
называются однопетлевыми, с двумя циклами - двухпетлевыми и т. д.
Диаграммы с данным числом петель являются членами одного порядка в
квазиклассическом разложении S-матрицы или производящего функционала для
функций Грина по постоянной Планка В силу этого они образуют инвариантную
совокупность, т. е. все свойства симметрии, которыми обладает полная S-
матрица, выполняются независимо для совокупности диаграмм с фиксированным
пислом петель.
Для характеристики устраняющей расходимости вы-читательной процедуры
вводится понятие индекса диаграммы. Пусть данной сильно связной диаграмме
порядка п соответствует коэффициентная функция, фурье-образ которой имеет
вид
L
/(*) = $ П б (? р - kq) П Dt (Pl) dpt, (2.3)
где индекс q нумерует вершины, а / внутренние линии. В аргументе 6-
функции стоит алгебраическая сумма импульсов, входящих в вершину с
номером q. Функция Грина Di(pi) имеет вид
?>;(Рг) = ?(Рг)("1?-р;)-1. (2.4)
где Z {pi) полином степени rt.
Сделаем масштабное преобразование всех импульсных переменных (и масс):
Pi, ki-^apt, aki. Если интеграл / (k) сходится, то при таком
преобразовании он умножится на аш, где индекс диаграммы ш складывается из
следующих факторов: каждая внутренняя линия вно-
L
сит вклад Г/ - 2, что в сумме дает ? (п - 2), где L -
i=i
полное число внутренних линий. В формуле (2.3) интегрирование ведется по
L переменным pj, однако (п- 1)-интеграл снимается 6-функциями (одна 6-
функция выражает закон сохранения полного импульса). Поэтому остается
4(Z. - п + 1) независимых дифференциалов, которые дают суммарный вклад 4
