Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
123
умножается на (pf - mf). Затем следует перейти на массовую поверхность Щ
= т\, р] = т\, считая, что kQ и рь положительны для уходящих частиц и
отрицательны для приходящих частиц.
Другой вариант диаграммной техники можно получить, если выбрать в
качестве снимающего вырождение функционала В, фигурирующего в формуле
(3.42), выражение
ехр{ 2^- ^ (ДИ2 - amiBa)2dxJ. (4.71)
Выкладки, полностью аналогичные тем, которые привели нас к выражению для
5-матрицы в а-калибровке, приводят к следующему результату:
5 = N~1 ^ ехр {i ^ \S (х) -f (д^- а/щй")2] dx |'Х
л-"л{п
out
а-*ат
out
X П det Мх dAй dB da, (4.72)
Я
где лагранжиан 3? по-прежнему дается формулой (4.66), а оператор АД
выглядит следующим образом:
Мли = (? + атТ) и - gdм и] + -а8р [$, и) +
+ аи. (4.73)
Как и раньше, det АД можно представить в виде интеграла по полям
фиктивных частиц
det Мх - ^ ехр j i ^ са {х) Махс {х) dx| JJ dc dc. (4.74)
X
Недиагональный по полям Ап, В член при-
сутствующий в лагранжиане (4.66), сокращается с аналогичным членом в
выражении, фиксирующем калибровку. В результате смешанные функции
распространения
I 1
А^ВЬ отсутствуют. Правила Фейнмана отличаются от сформулированных выше в
следующих пунктах:
124
ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА - МИЛЛСА
1. Векторной линии соответствует функция распространения
АаЬ Г guv - 2________k^kyk 2 ~]
[ k*-m\ + iO + (k2a-'-m\ + i0)y ( }
2. Скалярной 5-линии соответствует функция распространения
2 ---------• (4.76)
р - tn\а + г'О
3. Фиктивным частицам соответствует функция распространения
- 2 Л"*-----. (4.77)
р - tn\a + i О
4. Появляются дополнительные вершины взаимодействия фиктивных частиц с
полями Ва и а, явный вид которых легко получить из формул (4.73), (4.74).
При а - 0 эти правила, очевидно, совпадают с сформулированными выше для
случая лоренцевой калибровки.
На этом мы заканчиваем описание примеров взаимодействия поля Янга -
Миллса с полями материи. Мы надеемся, что эти примеры достаточно
характерны, и читатель без труда построит диаграммную технику для
произвольной модели, как с нарушенной, так и с ненарушенной симметрией.
Глава IV
ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
§ 1. Примеры простейших диаграмм
Развитая в предыдущей главе диаграммная техника позволяет вычислять
функции Грина и вероятности процессов рассеяния с точностью до любого
порядка по g. Однако прямое применение сформулированных выше правил для
вычисления диаграмм, содержащих замкнутые циклы, приводит к
бессмысленному результату - соответствующие интегралы расходятся при
больших импульсах. Придание этим выражениям смысла составляет содержание
процедуры перенормировки, изучением которой мы будем заниматься в этой
главе.
В качестве простейшего примера рассмотрим поправку второго порядка к
функции Грина фиктивной частицы в теории Янга - Миллса с калибровочной
группой
Рис. 1. Поправка второго порядка к функции Грина фиктивной частицы.
Пунктирная линия обозначет функцию распространения фиктивной частицы,
волнистая - поля Янга - Миллса.
5П(2). Эта поправка описывается диаграммой, изображенной на рис. 1.
Соответствующее аналитическое выражение имеет вид
Р
к к-p к
(1.1)
где в диагональной а-калибровке (а = 1)
dp (k - р)ц (р2 + Ю) i(k - Ру + /0] ¦
(1.2)
126 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИИ
При р-*¦ оо этот интеграл линейно расходится. Чтобы придать интегралу
(1.2) смысл, введем прежде всего промежуточную регуляризацию, заменив
функцию {р2 Ю)-1 регуляризованным выражением
1 1 1
(.Р2 + *0) (р2 + /0) р2 - Л2 + ю ~
А2
dX
\ (р2 - X + Ю)2 •
0
(1.3)
При Л -> оо регуляризованная функция Грина стремится к исходному
выражению (р2 -f-Ю)-1. При конечных Л интеграл
2л ^ = W \dX\ [р2 - X + Ю]2 [{kР-р)2 + /0]
о
сходится. Для его вычисления воспользуемся формулой Фейнмана
1
= S \az + b (1 - г)]3 '
о
Эта формула позволяет объединить оба множителя в знаменателе интеграла
(1.4) в один
А2 1
2Л (k2) = -щг J dX ^ dz2z X
о о
dp (k - jo)v
x[
(1.6)
[(p2 - X + /0) z + (k2 - 2pk + p2 + i0) (1 - г)]3 ' Переходя к новым
переменным
р-*р + /г(1- z), (1.7)
получаем
Лг 1
ZA(k2) = j?fr\dx\dz2zX
о о
V С _______dp (kz - р)у_______
J [р2 + &2(1-z) z - Xz + Ю]3 ' (1-3)
§ 1. ПРИМЕРЫ ПРОСТЕЙШИХ ДИАГРАММ
127
Интеграл
\dppj(p2) (1.9)
равен нулю по соображениям симметрии.
В остающемся интеграле можно повернуть контур интегрирования на 90° и
ввести новую переменную интегрирования ро -*¦ ip0.
В результате интеграл по р принимает вид
<1ло>
где интегрирование ведется по четырехмерному евклидову пространству.
Вычисление интеграла (1.10) дает
/==-|г- О-11)
В результате получаем следующее выражение для функции 2л (62):
лг 1
Дл(*)°- (1.12)
о о
Интеграл по к берется явно. При k2 < 0 получаем
Да № = -щг \ Л* • 2 In У (',7 < 0). (1.13)
0
При стремлении Л -> оо это выражение, как и следовало ожидать,
логарифмически расходится. Процедура перенормировки состоит в замене
интеграла, фигурирующего в (1.13), выражением, получающимся из него
