Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 137,
§ 51. Расчет магнитных полей с помощью закона Био и Савара. Системы единиц
1. Рассмотрим сначала очень длинный прямолинейный провод, по которому течет постоянный ток <&. Подводящие провода должны быть расположены настолько далеко, чтобы их магнитными полями в рассматриваемой области пространства можно было полностью пренебречь. Тогда провод может считаться бесконечно длинным. Магнитное поле элемента тока е7 dl (рис. 138) дается выражением
dB = -gr[dlr] = ^[dlLr],
где dlL — составляющая вектора dl, перпендикулярная к г. Магнитные силовые линии будут окружностями, центры которых расположены на оси провода. В скалярной форме:
<??
dB ——п~ dlL = — da,
гг* /¦’г '
сг
сг
где da — угол, под которым вектор dl виден из точки наблюдения. Введя расстояние до провода R — г cos а, получим dB = = 3 cos а da/(cR). Интегрирование этого выражения от а = — я/2 до а = + я/2 дает искомый результат:
(51.1)
РАСЧЕТ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
223
Теперь нетрудно рассчитать взаимодействие двух бесконечно длинных параллельных постоянных токов и <^2- Первый ток в месте нахождения второго создает магнитное поле Вг = 2e7tl(cR), где R — расстояние между токами. Это поле действует на участок второго тока длины I с силой F = ^JLBJc, или
о7 j&7
(51.2)
Измерив F, можно по этой формуле вычислить численное значение электродинамической постоянной с. Впервые эта постоянная была измерена несколько иным путем Вильгельмом Вебером (1804— 1891) и Рудольфом Кольраушем (1809—1858) в 1856 г, Они нашли поразительный результат, что в пределах ошибок измерений величина с совпадает со скоростью света в вакууме.
Последующие измерения других ученых не оставили никаких сомнений в том, что электродинамическая постоянная и скорость света в вакууме — это одна и та же физическая постоянная. Теоретические исследования Максвелла показали, что этот фундаментальный результат является выражением электромагнитной природы света.
2. Знание численного значения с открывает возможность рационального построения системы единиц в учении об
электрических и магнитных полях. Если ввести обозначение q(m) — qjc) т0 основные формулы (49.1) и (50.2) перепишутся без множителя с:
F=^[vB], (51.3)
q<m>
В-
Г*
[vr].
(51.4)
Тем самым вводятся новые единицы заряда (и тока) — вс раз больше соответствующих электростатических единиц и отличающиеся от них размерностью. На них основана так называемая магнитная система СГС, обозначаемая кратко СГСМ. Десятая доля СГСМ-единицы заряда называется кулоном, а силы тока — ампером. Это — точные определения кулона и ампера. (Не совсем точные определения, которыми мы пользовались до сих пор, использовали приближенное значение электродинамической постоянной с ап ж 3-1010 см/с.)
Теперь можно дать определение единицы напряженности магнитного поля, которая называется гауссом. Допустим, что векторы ©и В взаимно перпендикулярны и что = 1 СГСМ-ед., v =
224
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. III
= 1 см/с, В = 1 Гс. Тогда формула (51.3) дает F — 1 дин. Это приводит к следующему определению. Гаусс есть напряженность такого магнитного поля, которое действует на заряд в одну СГСМ-единицу с силой в одну дину, если сам заряд движется перпендикулярно к магнитному полю со скоростью 1 см/с. Легко переформулировать это определение, используя вместо единицы электрического заряда единицу электрического тока. Для получения конкретного представления о гауссе заметим, что напряженность земного магнитного поля меняется приблизительно от 0,4 Гс (на экваторе) до 0,7 Гс (на полюсе). В геомагнетизме применяется также более мелкая единица — гамма (у). По определению I7 = 10~5 Гс.
Система СГСЭ применяется только для измерения чисто электрических величин: заряда, напряженности и индукции электрического поля, электрического потенциала, емкости, электродвижущей силы, электропроводности, электрического сопротивления и пр. Система СГСМ напротив, применяется лишь для измерения чисто магнитных величин: напряженности и индукции магнитного поля, магнитного потока, коэффициентов само-и взаимоиндукции, магнитных моментов, вектора намагничивания и пр. Каждая из этих систем никогда не используется как единая система для измерения всех электрических и магнитных величин. Гауссова система, которой мы пользуемся, является комбинированной. Единицы чисто электрических величин в ней совпадают с единицами СГСЭ, а единицы чисто магнитных величин — с единицами СГСМ.
3. Вычислим напряженность магнитного поля кругового тока на его оси (рис. 139). Элемент тока dl возбуждает магнитное поле dB, перпендикулярное к радиусу-вектору г. Разложим это поле на две слагающие: осевую слагающую dBz и радиальную слагающую dBr. При интегрировании по контуру кругового тока радиальные слагающие взаимно уничтожаются. Результирующее поле будет направлено вдоль оси Z, и надо интегрировать только осевую составляющую
jd <&dl .
dBz = ~—sin а.
Угол а один и тот же для всех точек кругового тока. Интегрирование сводится к простому умножению на длину контура 2па. Таким
образом,
D п 2лярУ . 2ла2# _.
Bz = В~ sin а = —^—. (515)
