Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
ЗАДАЧ И
1. Найти вероятность того, что между моментами времени и t > tt свободный электрон в металле не претерпевает столкновений с ионами решетки. Электрическое поле в металле Е = 0.
Решение. Так как электрического поля нет, то все моменты времени вполне эквивалентны. В силу этого искомая вероятность может зависеть не от времен t и в отдельности, а только от их разности t — Обозначим эту вероятность через f (t — tj). Возьмем теперь второй момент времени t2, более ранний, чем 4- Вероятность события, что электрон не претерпит столкновений в промежутке времени t — t2, будет f (t — t2). Но это событие можно рассматривать как сложное. Оно состоит из последовательности двух статистически независимых событий: 1) события, что электрон не претерпевает столкновений в интервале времени (t2, у, и 2) события, что в интервале (<lt t) он также не испытывает столкновений. По теореме умножения вероятностей вероятность этого сложного события может быть представлена произведением f {t — t2) — [ — tz) [ (t — tL).
Решением этого уравнения является
= (42.28)
где а — постоянная. Очевидно, она положительна, так как с возрастанием аргумента t функция f (t) должна убывать. Таким образом,
f (/-/0)=е-“('~«. (42.29)
Найдем теперь вероятность того, что электрон претерпел столкновение между t и t + dl. Очевидно, она равна
dw = t{t-t<i)-t(t + dt-tQ) = --~Ldti
ИЛИ
dw = ae-~aV-to)dt. (42.30)
Простым интегрированием убеждаемся, что эта вероятность нормирована к единице:
00
\dw = \ ae-aV-^dt=l.
to
Так и должно быть, поскольку столкновение электрона на бесконечном интер вале времени (t0, оо) есть достоверное событие. Постоянную а можно выр через среднее время свободного пробега электрона т между двумя последователь ными столкновениями его с ионами. Очевидно,
оо оо I
ї = $ (t-t0)dw = a] (f_f0)d/ = —.
to to
ВЫВОД ЗАКОНОВ ели И ДЖОУЛЯ-ЛЕНЦА
189
Поэтому
--(/-/о)
I(t-t о) = е Ї . . (42.31)
2. Разъяснить следующий парадокс. Вероятность того, что последнее столкновение электрона произошло между t0 и /0 + dt0, равна
dw = / [/ - (/„ ¦+ dU)] -f(t-k) = -^-dlot
(II о
или
dw — ae~^~i^di0. (42.32)
До момента времени t электрон в среднем двигался без столкновений в течение Бремени
t ,
$(t—k)dw= 5 (t— h)ox~a(t~u) dh= —,
—CO
т. e. такое же время, какое он затратит в среднем до следующего столкновения.
Рассмотрим теперь движение электрона между двумя последовательными столкновениями. Пусть момент времени t лежит где-то между моментами столкновений. Пусть от первого столкновения до момента t электрон затрачивает время Tlt а от момента і до второго столкновения — время Т2. Тогда время между столкновениями будет Т = Тг + Т2. Усредняя это время, получим Т = Т1 + Тг. Но согласно доказанному Тх = Т2 = т. Таким образом, среднее время свободного пробега электрона между двумя последовательными столкновениями будет Т — 2т. На самом деле оно равно т. _
Решение. Соотношение Т = 7і + Тг неверно, так как операция усреднения времени Т имеет другой СМЫСЛ, чем операции усреднения времени Ті и Т2. Возьмем, например, пучок электронов, одновременно претерпевших столкновения. Пусть число частиц в пучке непосредственно после столкновения равно п0. Для вычисления Т надо усреднить Т по всем п0 электронам. Но электроны выбывают из пучка из-за столкновений. Пусть к моменту і их останется в пучке п. Для нахождения Тг и Т2 надо усреднять 7\ и Т2 уже по меньшему числу частиц п. Благодаря этому правильное соотношение между средними временами будет Т — = 7^ = т.
3. Применить результаты, полученные в задачах 1 и 2, к вычислению плотности тока в металле, введя предположение, что после каждого столкновения электрон полностью утрачивает упорядоченную скорость. Электрическое поле Е считать слабым, однородным и зависящим от времени.
Решение. В слабых полях формулы (42.31) и (42.32) остаются верными. Если электрон претерпел последнее столкновение в момент ^0, то за время і — /„ его скорость получит приращение
&v = ~ ^ E(t')dt'. (42.33)
Усредняя это выражение по всем электронам, мы и найдем упорядоченную (дрейфовую) скорость электрона в электрическом поле:
t 1-і о
ю=<Д®> = ^ Д® dw = i- ^ Ave * dt0.
^ —оо
Еведем временное обозначение А® = k\, где k — единичный вектор в направлении электрического поля Е. Величину | при интегрировании, конечно, надо
190
электрический ток
[ГЛ. II
рассматривать как функцию аргумента t0. Имея это в виду, интегрированием по частям находим
t-t о , t-t о
]t° = t г---------
-к \ е х dl.
<о = -со
Множитель Дт>, как видно из формулы (42.33), обращается в нуль на верхнем пределе t0 — t. На нижнем же пределе t0 = —оо обращается в нуль экспоненциальный множитель. Таким образом, в правой части последнего выражения остается только второе слагаемое. Подставляя в него ёЪ, = — еЕ (t0) dtjm и выполняя интегрирование, получим
t t — tn
dt0.
—00
Плотность тока
t t — t о
j = neu = ~ E(t0)e * dt0.
Для исключения входящего сюда интеграла дифференцируем последнее выраже* ние по t и находим
/ t-t о
= f , dlo.
dt m mx
Следовательно,
