Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
5. Приведенное рассуждение без всяких затруднений распространяется на случай системы, состоящей из произвольного числа N тождественных частиц. Прежде всего получается вол-ковая функция
^ = 2 'Фру '3' • • • Фш (N)
ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ И ПРИНЦИП ПАУЛИ
287
с разделяющимися переменными, в которой сохранены прежние обозначения. Отсюда, последовательно меняя местами каждые две частицы, получаем новые волновые функции с разделяющимися переменными:
Ф' = “Фа (2) (1) 'I’y (3) • • ¦ ^0) т
Ф" = Фа(3) “Фр (2) 4>v (1) • • • 'МАО
и т. д., которым соответствует то же значение параметра <?. Состояние с таким значением <В JV-кратно вырождено. Однако ни одно из этих состояний не реализуется в природе.
В случае бозонов реализуется только их симметричная комбинация
(46.9)
где Р — оператор перестановки координат двух частиц, причем сумма распространяется на всевозможные перестановки. К числу таких перестановок относится и тождественная перестановка, не меняющая координаты всех частиц, при которой функция г|)
не изменяется. Таким образом, сумма (46.9) содержит N сла-
гаемых.
В случае фермионов реализуется антисимметричная комбинация
== 52 Рф, (46.10)
причем знаку плюс соответствует четное число транспозиций (т. е. перестановок двух частиц), а знаку минус — нечетное. Таким образом, антисимметричная функция может быть записана в форме определителя
Фа(0 Фр(1) •• • Фо (1)
Фа = Фа (2) % (2) . • t»(2)
Фа(^) • • Фа (N)
Обычно волновые функции (46.10) и (46.11) нормируют, умножая их на определенные числовые коэффициенты. Однако в разбираемом нами вопросе нормировка не имеет значения и поэтому не производится.
6. В случае невзаимодействующих одинаковых частиц имеет': смысл говорить о состоянии не только системы в целом, но и о' состоянии одной частицы. Например, можно сказать, что одна какая-то частица находится в состоянии г|)а, а другая в состоянии фр. При этом волновые функции фермионов ведут себя существенно иначе, чем волновые функции бозонов.
В системе одинаковых фермионов не может быть двух частиц, находящихся в одном и том же состоянии^ Для частного" случая системы, состоящей из двух частиц, это непосредственно видно из формулы (46.8), так как в случае фа = фр волновая
288
Атомные системы со многими электронами
[ГЛ. VI
функция г|з0 обращается в нуль, что физически не соответствует никакому состоянию. В общем случае N частиц это видно из формулы (46.10) и в особенности из формулы (46.11), так как, например, при г|)а = г|)р получился бы определитель с двумя одинаковыми столбцами, а такой определитель обращается в нуль.
Таким образом, в системе тождественных фермионов не может быть двух частиц, находящихся в одном и том же состоянии. Это положение называется принципом или запретом Паули, который высказал его для электронов в атоме еще до создания квантовой механики. В первоначальной формулировке принцип Паули утверждал, что в атоме не может быть двух электронов, характеризуюіцихся одинаковыми четверками квантовых чисел.
В смысле ясности и точности принцип Паули уступает принципу антисимметрии волновых функций. Последний принцип справедлив и при наличии взаимодействия частиц, тогда как в принципе Паули речь идет о состояниях отдельных частиц, о которых, строго говоря, можно говорить лишь в отсутствие взаимодействия. Тем не менее принцип Паули, даже в первоначальной формулировке самого Паули, оказался очень плодотворным, например, для обоснования периодической системы Менделеева, а также некоторых закономерностей в спектрах. Принцип антисимметрии волновых функций фермионов иногда называют обобщенным принципом Паули.
Что касается бозонов, то на их состояния принцип симметрии волновых функций не накладывает никаких ограничений, аналогичных запрету Паули. В одном и том же состоянии может находиться любое число одинаковых бозонов. Это непосредственно видно из выражений (46.7) и (46.9) для волновых функций таких бозонов.
§ 47. Объяснение периодической системы химических элементов Д. И. Менделеева
1. Периодическая повторяемость свойств химических элементов, открытая Д. И. Менделеевым (1834—1907) в 1869 г. и отраженная в его периодической системе, была объяснена Бором в 1922 г. на основе созданной им теории строения атома. Оказалось, что не атомная масса (атомный вес по старой терминологии) , а заряд ядра лежит в основе систематики химических элементов. Если за единицу принять элементарный заряд е, то заряд ядра будет выражаться целым числом, которое принято обозначать через Z. Число Z и определяет номер химического элемента в периодической системе. В этой связи его называют также порядковым номером элемента. Заряд ядра численно равен числу электронов в электронной оболочке, окружающей ядро нейтрального атома. Свойства же элемента зависят прежде
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТОВ МЕНДЕЛЕЕВА
289
всего от числа электронов в электронной оболочке и от ее строения. Что касается химических свойств элемента, то они определяются наружными электронами электронной оболочки.
Существенное усовершенствование объяснение периодической системы получило в 1925 г. после открытия принципа Паули. Этот принцип определил максимальное число электронов в электронной оболочке атома, которые могут находиться в определенном квантовом состоянии. После этого стало понятным распределение химических элементов по группам и периодам периодической системы, эмпирически угаданное Менделеевым и пополненное затем другими химиками.
