Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Например, атом водорода состоит из двух ферми-частиц: протона и электрона, спин каждой из которых равен 1/2. Суммарный механический момент, т. е. спин атома водорода в нормальном состоянии, может быть равен либо 0 (спины протона и электрона антипараллельны), либо 1 (спины параллельны). В обоих случаях атом водорода в нормальном состоянии будет бозоном.
Приведем второй пример. Ядро атома гелия гНе, т. е. а-ча-стица, состоит из двух протонов и двух нейтронов. Спин этого ядра равен нулю, т. е. оно является бозоном. Бозоном будет и сам атом гНе в нормальном состоянии. Но ядро 2Не состоит из нечетного числа (3) частиц со спинами 1/2: двух протонов и одного нейтрона. Спин этого ядра нечетный, т. е. оно является фермионом. Фермионом будет и сам атом 2Не. Ядра и атомы
ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ И ПРИНЦИП ПАУЛИ
285
2Не подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, ядра и атомы 2Не— статистике Ферми — Дирака. Это проявляется в том, что вблизи абсолютного нуля температуры аНе обладает сверхтекучестью, в то время как 2Не не обладает (уточнение дается в § 61, п. 7).
4. Применим принципы симметрии и антисимметрии к системе одинаковых частиц, не взаимодействующих между собой. При этом сначала будем рассуждать так, как если бы эти частицы не обладали спинами (уравнения для волновых функций при наличии спина в этом курсе не рассматриваются), а затем обобщим полученные результаты на случай наличия спина.
Начнем с простейшего случая, когда система состоит всего из двух одинаковых частиц, декартовы координаты которых обозначим соответственно ¦через xi, ух, z\ и Х2, у2, 2г. Если Я —оператор Гамильтона всей системы, а Я, и Я2— каждой из частиц, то Я — Я і -f Я2. Уравнение Шредингера для системы частиц в стационарных состояниях будет
Яф зз (tfi + Я2) я|> = ?Ч\ (46.3)
где оператор Я\, поскольку частицы не взаимодействуют между собой, зависит только от координат первой частицы, а Я2 — только от координат второй частицы, а именно:
fv h2 / д2 , д2 . д2 \ , т, , .
Н\— - ( -7-2 + —J + “ГГ ) + U (Х1> У 1> 2l)>
2т V. дх\ дух dzt )
2т
Ґ д2 , д2 , д2 \ , ,Т , . {Щ + ^1 + -Щ)+ {Х2’Уъ гг)'
(46.4)
Оба оператора Я\ и Я2 совершенно одинаковы, так как одинаковы сами частицы, но эти операторы зависят от разных координат.
Для решения уравнения (46.3) применим тот же метод, какой был использован в § 26. Так как оператор Я\ действует только на координаты x\, у\, z\, а оператор Я2 — только на координаты Х2, г/2, z2, то уравнение (46.3) распадается на два:
= Я2ч1) = гг2-ф, (46.5)
где <8\ и Ж 2 — ПОСТОЯННЫе, удовлетворяющие условию <8\ + 2*= <8• Решение первого уравнения (46.5) имеетвид фрфа(1), где для краткости совокупность координат х\, у\, z\ первой частицы обозначена цифрой 1. Аналогично, совокупность координат х2, у2, 22 второй частицы будем обозначать цифрой 2. В об-
щем случае коэффициент фр может зависеть от координат 2, т. е. *Рр = Фр(2). Функцию Фр(2) следует выбрать так, чтобы удовлетворялось и второе уравнение (46.5). Для этого должно быть
ЯіФа(1) = ^іФа(1) И Я 2фр (2) = <8 2фр (2). (46.61
286
АТОМНЫЕ СИСТЕМЫ СО МНОГИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
[ГЛ. VI
Таким образом, функция <ра(1) описывает состояние первой частицы с энергией &\, а функция фр(2)— состояние второй частицы с энергией . Соотношение & = означает, что
энергия системы двух невзаимодействующих частиц равна сумме энергий этих частиц, как этого и следовало ожидать. Решение уравнения (46.3) принимает вид г|) = фа( 1)фр(2), т. е. оно является, как принято говорить, решением с разделяющимися переменными.
Уравнения (46.6) по существу одинаковы. Они отличаются одно от другого только обозначениями независимых переменных и значениями постоянных <§і и Конечно, собственному значению <%\ могут соответствовать несколько независимых решений первого уравнения (46.6). В общем случае под ф<*(1) следует понимать их линейную суперпозицию с постоянными коэффициентами, которая также является решением уравнения
(46.3). То же относится к функции Фр(2).
Прежде чем идти дальше, учтем наличие спина. Для этого достаточно понимать под 1 и 2 совокупность не только пространственных, но и спиновых координат частиц'. По-прежнему находится функция фа(1)фр(2), являющаяся решением уравнения, заменяющего уравнение Шредингера при наличии спина (такое уравнение называется уравнением Паули). В силу тождественности частиц функция фа(2)фр(1) является решением того же уравнения. Она получается из функции фа(1)фр(2),
если поменять местами частицы 1 и 2, т. е. произвести переста-
новку их пространственных и спиновых координат.
Однако ни одна из этих функций не удовлетворяет принципу симметрии иди антисимметрии. Но из них можно составить линейные комбинации с постоянными коэффициентами, которые также являются решениями уравнения типа Шредингера. Среди этих комбинаций есть симметричная функция
^ = фа(1)фр(2) + фа(2)фр(1) (46.7)
и антисимметричная
¦ ^а = фа(1)фр(2) — фа(2)фр(1). (46.8)
Состояние, описываемое функцией i|)s, может действительно реализоваться в природе в случае системы двух одинаковых бозонов, а состояние, описываемое функцией г|)а, — в случае системы двух одинаковых фермионов.
