Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
$ п (sdl) = jj п (sdl).
ACB
ADB
Не луче ACB векторы S и dl направлены одинаково, следовательно,
(s dl) = dt. На линии же ADB
(s dl) этому
dt cos (s, dl) dt. По-
5 ndl
ACB
: $ ndl.
ADB
(7.2)
Знак равенства относится только к случаю, когда кривая ADB сама является лучом. Таким образом, если показатель прелом-Рис. 21. ления меняется в пространстве
непрерывно, то оптическая длина луча между любыми двумя точками меньше оптической длины всякой другой линии, соединяющей те же точки. Но это есть другая формулировка принципа Ферма, так как оптическая длина луча пропорциональна времени распространения свбта вдоль него.
Приведенная формулировка принципа Ферма нуждается в уточнении. В некоторых случаях она может оказаться неверной. Pac-смотрим„например, среду с сферически симметричным распределением показателя преломления вокруг центра О (рис. 22). Примером такой среды может служить планетная атмосфера. Предположим, что показатель преломления меняется в пространстве так, что световой луч, выйдя из какой-либо точки перпендикулярно к радиусу, описывает окружность с центром в точке О. Пусть свет попадает
из точки А в точку В по большой дуге ACB этой окружности. Но он может пройти из А в В и по дуге ADB той же окружности, затрачивая на распространение меньшее время. Меньшее время потребовалось бы и в том случае, если бы свет избрал какой-либо другой путь, бесконечно близкий к дуге ADB. Все это противоречит принципу Ферма'в приведенной выше формулировке.
Рис. 22. ПРИНЦИП ФЕРМА
49
Причина противоречия состоит в том, что в приведенном примере эйконал Ф не есть однозначная функция координат, как это предполагалось при выводе. Действительно, если луч описывает окружность вокруг центра О, то он вернется в исходную точку с новым значением эйконала: эйконал Ф получит приращение nl, где / — длина описанной окружности. Если окружность описывается т раз, то приращение эйконала будет 2mnl. Это и значит, что функция Ф неоднозначна. Для справедливости принципа Ферма необходимо наложить на выбор воображаемых путей распространения света такие ограничения, чтобы эйконал Ф вел себя как однозначная функция координат. В приведенном примере этого можно достигнуть, поставив перегородку вдоль меридиональной полуплоскости ODE и ограничиваясь только такими путями, которые не пересекают эту перегородку'.
Подобным приемом можно воспользоваться и во всех остальных случаях, в которых эйконал Ф оказывается неоднозначным. Впрочем, в применениях принципа Ферма достаточно ограничиться только такими путями, которые проходят бесконечно близко от действительного пути света. В этом случае надобность во введении перегородок отпадает.
3. При наличии поверхностей раздела сред, на которых лучи могут испытывать отражение или преломление, в формулировку и доказательство принципа д Ферма надо ввести дополнения. Пусть луч, выйдя из точки А (рис. 23), после отражений или преломлений в точках С, D, Е,... попадает в точку В. Назовем виртуальным путем света любую линию AC'D'E'B между крайними точками А и В, которая получается из ACDEB в результате бесконечно малого боково- Рис. 23.
го смещения ее и отличается
от нее бесконечно мало-по направлению. Принцип Ферма утверждает, что оптическая длина действительного светового пути (или пропорциональное ей время распространения) стационарна. Это значит, что разность оптических длин_действительного и виртуального путей света есть величина более высокого порядка малости, чем боковое смещение виртуального пути относительно действительного. Только эта стационарность, а не минимальность оптической длины луча и существенна в приложениях.
При доказательстве достаточно ограничиться преломлением на одной границе. Случай отражения исследуется так же. Пусть 50
ВВЕДЕНИй
(ГЛ. i
MN — граница раздела сред 1 и 2, a ACB — действительный луч, соединяющий течку А с точкой В (рис. 24). Вообразим два бесконечно узких пучка лучей: один в первой среде, исходящий из точки А, другой во второй среде, сходящийся в точке В. За положительные направления лучей примем направления от А к В. Выберем в этих пучках два луча AC' и С'В, пересекающихся на границе раздела в точке С'. Кривую ACB можно рассматривать как виртуальный путь света, так как луч С'В в общем случае отнюдь не возникает в результате преломления луча AC'. Обозначим через CD1 и эйконалы рассматриваемых пучков лучей, отсчитываемые от точек А и В соответственно. Тогда
^ nds = ^ nds+ ^ nds = $ nds — $ Hds = (S)1(C)-(J)2(C).
ACB AC CB AC ВС
Вариация интеграла ^n ds при смещении точки С в произвольную бесконечно близкою точку С' границы раздела будет
б\nds = 6Ф1-6Ф2.
Если Ьг з= CC' — вектор смещения, то 6ФХ = (grad©16r) = U1 (S1Sr) и аналогично 6Ф2 = п2 (S2Sr), так что
б § nds = (H1S1 — n2s2) б г.
В силу закона преломления Снеллиуса вектор (H1S1 — n2s2) перпендикулярен к границе раздела сред в точке падения, а потому и к бесконечно малому смещению вдоль границы б г. Таким образом,
в первом порядке по бг вариация оптической длины луча ACB обращается в нуль. При доказательстве предполагалось, что виртуальный путь состоит из отрезков лучей AC' й СВ. Однако результат »не изменится, если эти отрезки заменить произвольными бесконечно близкими к ним линиями, соединяющими те же точки А и С", С' и В. В самом деле, поскольку AC' и С'В — действительные лучи в первой и второй средах, их оптические длины по доказанному выше минимальны. По этой причине замена действительных лучей AC' и С'В бесконечно близкими к ним линиями, соединяющими те же крайние точки, не меняет в первом порядке оптические длины соответствующих путей. Следовательно, вариация оптической длины луча ACB останется равной нулю, каков бы ни был виртуальный путь света. А к этому в рассматриваемом случае и сводится содержание принципа Ферма.
