Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
К представлению о распространении света вдоль лучей можно прийти и другим путем. Умножая уравнение (6.7) на а и замечая, что АФ = div grad Ф = c}iv (ns), перепишем это уравнение в виде
G2 div (us) -j- 2o grad a (ns) = 0,
или
div (M2S) = O. (6.16)
Полученное соотношение по форме совпадает с уравнением непрерывности div j~ 0 для стационарного течения несжимаемой жидкости. Роль линий тока играют световые лучи, а плотности потока жидкости — вектор J = na2s, пропорциональный плотности потока световой энергии. Свет как бы течет вдоль узких «световых трубок», т. е. трубок, боковые стенки которых образованы лучами. Через эти боковые стенки свет не проникает. Если а — поперечное сечение трубки, то вдоль нее величина па2о сохраняется неизменной, как это видно из уравнения (6.16).
Можно выделить отдельную световую трубку, или физический световой луч, поставив на пути распространяющейся волны (6.5) узкую диафрагму. Только диафрагма не должна быть особенно узкой, а световая трубка слишком длинной. Дело в том, что на краях диафрагмы и вблизи боковых границ трубки амплитуда поля меняется резко, т. е. условия применимости геометрической оптики не выполняются. Возникает дифракция света, приводящая к уширению светового пучка. Однако, если диафрагма не слишком мала, а световая трубка не слишком длинна, эти эффекты малосущественны. Но они всегда скажутся на больших расстояниях от диафрагмы. В теории дифракции будет показано, что необходимым условием, при выполнении которого можно говорить о физическом световом луче, является неравенство
1<D* А, (6.17)
где D — минимальный линейный размер диафрагмы, а I — расстояние от диафрагмы, измеренное вдоль луча.
Оптической длиной линии в однородной среде называется произведение геометрической длины этой линии I на показатель преломления п. Если среда неоднородна, то оптическая длина определяется интегралом $ ti dl, взятым вдоль рассматриваемой линии. Если ABC— геометрическая длина линии, то оптическая длина ее обозначается через (ABC), Т. е. заключением в круглые скобки геометрической длины. Из построения Гюйгенса, изложенного в пункте 3 этого параграфа, следует, что оптические длины всех лучей между двумя положениями волнового фронта равны между собой. ПРИНЦИП ФЕРМА
47
5. Нетрудно получить из волновых представлений и выражение для кривизны луча в однородной среде, Для этого через бесконечно малый отрезок луча AC проведем соприкасающуюся плоскость (рис. 20). Она пересечет волновые фронты, проходящие через концы этого отрезка, вдоль кривых AB и CD. Пусть BD — бесконечно близкий луч, лежащий в той же плоскости. Так как лучи перпендикулярны к волновым фронтам, то все углы бесконечно малого криволинейного четырехугольника ABDC прямые. А так как оптические длины лучей между любыми двумя положениями волнового фронта одинаковы, то nl = (п + dn) (I 4-+ dl), где I к 1+ dl — длины отрезков AC и BD, а п и n + dn — соответствующие им показатели преломления. С точностью до бесконечно малых высшего порядка отсюда получаем / dn -f* п dl = 0. По определению радиуса кривизны I = R(f, где ф — угол между касательными к лучу AC в точках А и С, равный углу между касательными к отрезкам AB я CD в тех же точках. Очевидно, dl = — а<р, где а — длина отрезка AB. Приращение показателя преломления •dn происходит вдоль главной нормали N, так что dn = (dn/dN) а. Учитывая все это, получаем: /?<р (dn/dN) а — яа<р = 0, откуда
Т-ТІГ. <6'18>
что совпадает с формулой (4.1),
§ 7. Принцип Ферма
1. Пьер Ферма (1601—1675) выдвинул принцип, согласно которому сеет при распространении из одной точки в другую выбирает путь, которому соответствует наименьшее время распространения. Ферма руководствовался телеологическими соображениями, согласно которым природа действует целенаправленно: она не может быть расточительной и должна достигать своих целей с наименьшей затратой средств. Подобные соображения, конечно, чужды науке и не могут служить обоснованием принципа Ферма. Но сам принцип (после введения некоторых уточнений) верен и может оказаться полезным при решении отдельных вопросов геометрической оптики. Это было продемонстрировано уже самим Ферма, который с помощью своего принципа вывел закон преломления Снеллиуса и получил такое же выражение для показателя преломления, что и в волновой теории света. В частности, он пришел к заключению, что скорость света в более преломляющей среде меньше, чем в менее преломляющей.
2. Для доказательства принципа Ферма допустим сначала, что показатель преломления среды меняется в пространстве непрерывно и достаточно медленно, так что условия применимости геометрической оптики выполнены. Пусть в среде распространяется волна вида (6.5), например порожденная точечным источником. Ей соответствует система лучей, представленная на рис. 21. Если эйконал Ф —< однозначная функция координат, то из уравнения (6.11) 48
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ, 1
следует, что циркуляция вектора ns по любому замкнутому кон-туру равна нулю, т. е.
§п (Sdl)** 0, (7.1)
где dl — вектор элементарного смещения вдоль этого контура. Возьмем две произвольные точки А и В, лежащие на одном из лучей. Соединим их произвольной линией ADB. В силу (7.1)
