Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
t = ~\dx( 1 - С0>2)- W =| J dx (l +4 -?-).
По сравнению с вакуумом время распространения сигнала увеличивается на
А' = і [»I**-= Ш J*'dx^ Ш J N>dx>
где г = е2 /(тс2) ^ 2,8- Ю-13 см — классический радиус электрона.
Интеграл SjN dx имеет смысл полного числа электронов в цилиндрическом канале, поперечное сечение которого равно 1 см2, а длина — пути, пройденному сигналом от пульсара до Земли. Он является одной из интегральных характеристик межзвездной плазмы на пути распространения сигнала. Несмотря на ничтожную концентрацию такой плазмы, из-за колоссальности расстояний до пульсаров величина этого интеграла оказалась достаточной, чтобы обнаружить запаздывание (в области сантиметровых волн) длинноволновых сигналов относительно коротковолновых. Таким путем впервые были оценены расстояния до пульсаров. В предположении, что на пути от пульсаров к Земле около 10% атомов водорода ионизовано, было найдено, что расстояния до большинства зарегистрированных пульсаров лежат между 200 и 7000 "световых лет. 554
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА
' [ГЛ. VIII
§ 88. Средняя плотность электромагнитной энергии в диспергирующих средах
1. Выражение для плотности электромагнитной энергии w = (еЕ1 + р#2)/(8л) получается в предположении, что є и р постоянны, т. е. не зависят от частбты со (см. т. III, § 84). В случае диспергирующих сред это выражение неприменимо. Не разбирая этот вопрос в общем виде, выведем выражение для средней плотности электромагнитной энергии в 'непоглощающей диспергирующей среде на частном примере, принадлежащем М. Л. Левину.
Пусть вещество с диэлектрической проницаемостью б((?>)' и магнитной проницаемостью |х(со) заполняет плоский конденсатор с емкостью С = е(со) C0 и тонкий соленоид с ин-
р OQg дуктивностью L = Li(Co) L0, соединенные в колебательный
' контур (рис. 306). Здесь C0 и L0 — значения емкости и индуктивности для того случая, когда в пространстве между обкладками конденсатора и внутри соленоида вакуум. При отсутствии сопрб-тивления в контуре будут совершаться свободные гармонические колебания с циклической частотой W = 1/Удсо) С(со). Если в некоторый момент времени ввести в контур малое сопротивление R, то, начиная с этого момента, колебания сделаются затухающими и первоначально запасенная электромагнитная энергия будет переходить в джоулево тепло, выделяющееся в сопротивлении R. Полное количество тепла, выделившееся в сопротивлении R за время, когда колебания прекратятся, будет равно электромагнитной энергии, запасенной в контуре до введения сопротивления. Поэтому задача сводится к вычислению джоулева тепла.
Пусть при t < О в контуре совершаются свободные колебания:
I = Io0Iut, у = Vogi(i,tt
где I — сила тока в контуре, а V — напряжение на обкладках конденсатора, связанные между собой соотношением Ll + V = 0, или iuxLI +V=O. Ёслй в момент (=0в контур ввести сопротивление R, то, начиная с этого момента, колебания будут описываться уравнением
L(V) T+ Rt+ -L^ = O, С(со)
откуда
/ = Zee'5*, OO1
где со — комплексная частота, определяемая уравнением
ZiL to)-, 1 _ =iR.
(X)C (со)
Если R исчезающе мало, то со должна отличаться от со также на исчезающе малую Величину, Но со удовлетворяет уравнению
wl^-ScW=0-
Вычитая его из предыдущего соотношения и заменяя все разности дифференциалами, получим
[ж ж H § 88] ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ЭНЕРГИЯ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ 543
откуда со = со.+ lo, причем
R _ d (a,L)__1 d (соС) = d(coL) L d(<i>C)
б — dco + CO2C3 da ~ da + С rfco '
Для определения джоулева тепла надо проинтегрировать выражение RI2 по времени. Поскольку возведение в квадрат — нелинейная операция, необходимо перейти к вещественной форме, т. е. сделать замену
/-> Re (/) = (/+ /*)/2. Энергия, первоначально запасенная в колебательном контуре, равна
W =
D
или в пределе при б .->- 0
OO
W =
I/o
Подставляя сюда значение для Rlб и пользуясь соотношением coL | I0 [ = | V0 |, получим
w__ L0 I I0 I2 гі(соц) Cojl/pj2 d (сое) 4 dco 4 dсо '
Если бы между обкладками конденсатора и внутри соленоида был вакуум, то для средних по времени значений магнитной и электрической энергий можно было бы написать
иI /оI2 LmT с°1 |a 1
4 ~8л" %т' 4 ~ 8л
где тот и Te — объемы соленоида и конденсатора, a E и H — напряженности электрического и магнитного полей, когда амплитуды напряжения на конденсаторе и тока в соленоиде равны V0 и I0. Но при заданных V0 и I0 поля ? и Я не зависят от среды, заполняющей конденсатор и соленоид. Поэтому предыдущие соотношения остаются справедливыми и в том случае, когда конденсатор и соленоид заполнены веществом. Используя их, получаем следующие выражения для средних по времени значений плотностей электрической и магнитной энергий:
- е^^ 1
те 8я da „
ш -Жт.__L dJ^lm.
т Tm 8л diо
Принципиальный недостаток приведенного вывода состоит в том, что в нем дифференцирование функций сoL и со С производится вдоль мнимой оси (так как разность частот со — со = iR — величина чисто мнимая), а в окончательном выражении (88.1) производится подмена дифференцированием по вещественной переменной со. Так можно поступать, когда функции coL и соС аналитичны. Поэтому для полноты доказательства надо было бы доказать аналитичность этих функций, чего в выводе Левина нет. Это можно сделать в общей теории дисперсии, исследуя аналитические свойства функций е(со) и ц(со). Однако рассмотрение этого вопроса выходит за рамки нашей книги.
