Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Эта простая интерпретация не может, однако, заменить строгое доказательство. В ее основе лежит утверждение, что расходящийся пучок, исходящий из точечного источника, ведет себя совершенно так же, как система не зависящих друг от друга плоских волн, распространение которых чисто геометрически представляется с помощью лучевой поверхности. Впервые (1852 г.) Ламе (1795—1870} указал, что здесь необходимо решить сложную математическую задачу: точно представить волновой комплекс, исходящий в анизотропной среде из одного точечного центра (аналог шаровой волны в изотропной среде). Ламе решил эту задачу для упругой анизотропной среды. При этом он действительно (при исключении продольных' волн) пришел к френелевой форме лучевой поверхности. В электромагнитной теории аналогичный вопрос сводится к решению задачи о поле точечного диполя Герца, помещенного в однородную анизотропную среду.
3. Все изложенное выше справедливо для любых волн в анизотропных средах. Специфичность электромагнитных волн в кристаллах состоит в том, что для них направление луча совпадает с направлением вектора Пойнтинга. Докажем это утверждение для рассматриваемого нами случая недиспергирующих кристаллов. В этом случае лучевая скорость вдоль волновой нормали равна '= = vN = ViNlV, или на основании формулы (75.8)
uN=-^r(DE) N. (81.6)
Найдем теперь составляющую лучевой скорости K1 = k dvldk, перпендикулярную к волновой нормали. Умножая формулу (80.6) на представим ее в виде
У_А_ = о
а
Дифференцируя это соотношение по kt, получим
2kadka/dkj _ Vl kl dv_ = 0
у2—Zd (и2 —v дкі ' . 802 КРИСТАЛЛООПТИКА [ГЛ. VlI
или, с учетом соотношений dkjdki = и kt = kNh (и \ ,, V N« N'
a
Из формулы (80.5) находим
1 Dg к\ Nh 1 О'
о2-a» = c*(NE)Na ' Zd (Wa-?)8 ^ с4 '
После подстановки этих значений в предыдущее соотношение и перехода к векторной форме получим
Следовательно,
и = + и х = {(DE) N - (NE) D) = [Е [ND]}.
Согласно первой формуле (75.5),
а по формуле (75.8) V2D2 = с2 (DE) = с2Я2, так что
vD = cH. (81.8)
В результате получим
и = ±[ЕЩ.
Таким образом, лучевая скорость и, ас ней и самый луч действительно направлены вдоль вектора Пойнтинга. Так как векторы E и H взаимно перпендикулярны, то [EH] = EHs, где s — единичный вектор в направлении луча. С учетом этого
UzsUS = ^S. (81.9)
При доказательстве предполагалось, что скалярное произведение (NE) не равно нулю. Если (NE) = 0, то вектор E параллелен одной из диэлектрических осей кристалла. В этом случае теорема очевидна.
4. Обоснование понятия луча и определение его направления были даны выше через групповую скорость в анизотропной среде. Мы не воспользовались сразу теоремой Пойнтинга, чтобы показать, что это понятие и его общие свойства не специфичны для s 81]
ЛУЧИ И ВОЛНОВЫЕ НОРМАЛИ
607
электромагнитных волн, а относятся к волнам любой физической природы. Кроме того, теорема Умова — Пойнтинга строго доказана для потоков энергии только через замкнутые поверхности. Локализация потока энергии в пространстве требует дополнительных соображений. Такая локализация не вызывает затруднений в рамках применимости геометрической оптики, т. е. в той же области, к которой относится понятие луча. Тогда теорема Умова — Пойнтинга открывает наиболее простой и общий метод для решения всех вопросов, связанных с понятием луча.
Пусть, например, AB — участок плоского волнового фронта, вырезаемый диафрагмой, поставленной на пути распространения электромагнитной волны (рис. 288). Если размеры участка велики по сравнению с /\ g
длиной волны, то справедлива геометри-ческая оптика. Надо только определить направление световых лучей. С этой целью н построим на основании AB цилиндр АВА'В', образующие которого совпадают с направлениями вектора Пойнтинга. Тогда поток электромагнитной энергии через боковую поверхность цилиндра будет тож- Рис. 288.
дественно равен нулю. Останутся только
потоки через основания AB и А'В'. Энергия, втекающая через AB, целиком выйдет через А'В'. Но так же ведут себя и световые лучи геометрической оптики. Поэтому направления лучей и вектора Пойнтинга должны совпадать и притом не только в случае недиспергирующих сред (как предполагалось в доказательстве, приведенном выше), но и в случае сред, обладающих дисперсией.
5. Двойственность, характерная для кристаллооптики, о которой говорилось в начале этого параграфа, в электромагнитной теории выражается общим положением, называемом теоремой обращения. Эта важная теорема помогает ориентироваться в обилии сложных формул кристаллооптики, давая руководящую нить при установлении внутренних связей между ними. Выражаясь упрощенно, можно сказать, что теорема обращения сокращает вдвое число формул и теорем кристаллооптики, подлежащих запоминанию. Для вывода этой теоремы умножим первое уравнение (75.5) векторно на s. Получим
[SD] = - ± [s[NH]] = ± {(Ns)H-(sH) N} = -? (Ns) Н.
Из (81.3) следует и (Ns) = v. Исключая (/V«), найдем H= ~ [sZ>]. Таким же путем можно получить E =—^ [«Я]. Таким образом, 504
