Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
+ Qi + ••• + Qn (рис. 28).
После того как указанный круговой процесс закончился, теплоизолируем систему I. Возьмем вспомогательный тепловой резервуар R0 настолько большой, что в процессе теплообмена его температура Т0 практически не меняется. Возьмем, кроме того, п идеальных машин Карно и включим их между вспомогательным резервуаром Rn и резервуарами Rlt R„, ..., R„. Таким образом, і-я машина будет совершать цикл Карно между резервуарами R0 и Rt (і = 1,2, ...,«)• Не имеет значения, совершаются ли все эти п циклов Карно одновременно, последовательно, или с произвольным наложением друг на друга. Пусть в результате своего цикла і-я машина Карно забирает от резервуара R0
120 ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ [ГЛ. III
тепло Q{>, а от резервуара Rt — тепло QНа основании теоремы Карно н определения абсолютной температуры
_^L + |L = о. (38.1)
1 0 1 І
Суммируя по І, находим общее количество тепла Q{), отданное вспомогательным резервуаром:
Q« = 2Qoi = -ruil тг 1-і ‘
Все п циклов Карно можно объединить с круговым процессом, ранее совершенным системой I, в один сложный круговой процесс. В результате такого процесса
резервуар Ru отдал тепло Q0; резервуар Ri отдал тепло Qi + QI;
.................................. (38.2)
резервуар Rn отдал тепло Qn + Qh;
совершена работа A =Q0 + (Qi + Qi) + --- + (Qn + <?«)•
Дальнейшие рассуждения построим на постулате Томсона — Планка. Выберем величины QI, Q',, ... так, чтобы (Qi +QI)
=¦ (Qn + Qn) — о. Это всегда возможно, так как тепловые резервуары Rlt R.,, ... , R„ предполагаются достаточно большими. В результате все тепловые резервуары вернутся в свои исходные состояния. Вспомогательный резервуар R0 отдаст тепло
П
Qo = T0 У.%-. (38.3)
іяшл і І
І= 1
Получился круговой процесс, совершенный системой I и п машинами Карно, в результате которого
резервуар R0 отдал тепло Q0, совершена эквивалентная работа Л=ф0.
Больше никаких изменений не произошло. Произведенная работа А = Q0 не может быть положительной, так как в противоположном случае получилось бы противоречие с постулатом Томсона — Планка. Таким образом, должно быть Q0 0, или, учитывая (38.3) и положительность абсолютной температуры Т»,
<, 3KJ
Неравенство клауЗиуса в осіцем виде
І2І
Это неравенство мы и хотели доказать. Кружок у знака суммы означает, что соотношение (38.4) относится к круговому процессу. Имеется в виду круговой процесс, выполненный самой системой I. Вспомогательные приспособления •- машины Карно и тепловой резервуар R0 — использовались только для доказательства. Их наличие никак не может отразиться на справедливости соотношения (38.4). Зто ясно хотя бы уже из того, что вспомогательные приспособления были привлечены только после того, как произошел круговой процесс, К которому ОТНОСЯТСЯ величины Qi И Т;.
2. При доказательстве предполагалось, что каждый из тепловых резервуаров R; может обмениваться теплом только с рассматриваемой системой I. Обмен теплом между самими тепловыми резервуарами, а также между резервуарами и остальными телами не учитывался. Но такого рода теплообмен не играет роли. Неравенство (38.4) останется справедливым и при его наличии. Действительно, всегда можно ввести адиабатические перегородки, исключающие указанный теплообмен и в то же время не меняющие физическое состояние тепловых резервуаров и не влияющие на их теплообмен с рассматриваемой системой.
3. Далее, доказательство предполагало, что тепловые резервуары Ru Д2, ..., Rn достаточно велики. Такое предположение необходимо, чтобы температуры 7’,- могли считаться постоянными, каковы бы ни были количества тепла, получаемые или отдаваемые тепловыми резервуарами. Общий случай, когда резервуары конечны, а их температуры произвольно меняются во времени, сводится к разобранному частному случаю. Действительно, пусть температура Т; резервуара Rj меняется во времени. Процесс теплообмена, в результате которого резервуар R; отдает системе I тепло Q,, можно разбить на сколь угодно большое число N бесконечно малых процессов, в которых резервуар А’,- отдает бесконечно малые количества тепла 6Q;j, ..., бQjA. В каждом из таких процессов температуру резервуара Ri можно считать постоянной. А это означает, что по отношению к этим процессам резервуар R{ ведет себя как бесконечно большой. Один резервуар Ri с переменной температурой как бы эквивалентен N последовательно включаемым резервуарам с постоянными, но разными температурами; в течение короткого времени первый резервуар отдает системе I тепло bQn, а в остальное время кругового процесса он теплоизолирован; в течение следующего короткого времени второй резервуар отдает тепло 6Q,-2, оставаясь теплоизолированным в остальное время, и т. д. Ясно поэтому, что в общем случае неравенство (38.4) следует записать в виде
Зто фундаментальное соотношение называется неравенством Клаузиуса.
(38.5)
122
ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
[ГЛ. III
4. При окончательной формулировке неравенства (38.5) нет необходимости вводить какие-то тепловые резервуары Ru R2, ..., Rn, с которыми система I обменивается теплом. Лучше пользоваться представлением о теплообмене между системой I и окружающей средой. Тогда величина Т будет означать температуру этой среды и может меняться как в пространстве, так и во времени. Надо мысленно представить себе, что окружающая среда разделена на малые области, каждая из которых характеризуется определенной, вообще говоря, переменной температурой. Символ бQ означает бесконечно малое количество тепла, переданное системе I одной или несколькими из таких областей при температуре Т. Кружок у знака интеграла должен напоминать, что неравенство (38.5) относится к круговому процессу, совершенному рассматриваемой системой I.
