Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
то ее полная кривизна т, +-я- должна равняться нулю. Радиус кривизны Ri Hi К-2
нормального сечения пленки, лежащего в плоскости XV, определяется формулой (величина отрицательная). Радиус кривизны перпенди-
У
Я.t Ь+у'Т'
кулярного к нему нормального сечения легко определить с помощью известной из дифференциальной геометрии теоремы Менье, согласно которой у ~ Р2 cos а, где а — угол между плоскостью нормального сечения и координатной плоскостью
YZ. Подставляя значение cos а, получим Р2—У 1 + </'2 (величина положи-
тельная). Таким образом, дифференциальное уравнение, определяющее форму осевого сечения пленки, принимает вид
1
У
1+y,s
У
(109.29)
Введем подстановку у’ = sh©. Тогда 1 + y,s = ch2©, y = ch © j~^:- Дифференцируя последнее соотношение и принимая во внимание, что у' = sh0, находим d2@/dx2=0, откуда 0 = ах + Ь, где а и Ь — постоянные. Они определятся из граничных условий: y—R при х=± h. Очевидно Ь=0, так как ввиду симметрии у должна быть четной функцией от х. Окончательно:
у=~ ch ах=~ (еах+е ах),
(109.30)
§ 100]
ФОРМУЛА ЛАПЛАСА
437
где постоянная а определяется уравнением
aR = chah. (109.31)
Поверхность пленки получается вращением кривой (109.30) вокруг оси X. Она называется катеноидом. Уравнение (109.31) легче всего исследовать и решать графически. Применяя этот метод, нетрудно доказать, что оно имеет решение
только при условии Значит, чтобы между кольцами могла образо-
ваться пленка, необходимо, чтобы расстояние между ними 2/i не превышало ТІІ-я^зз*.
15. Между двумя круглыми кольцами одинакового радиуса образовалась
цилиндрическая мыльная пленка, причем основания колец также затянуты мыльными пленками, имеющими, как легко показать, сферическую форму. Найти соотношение между радиусами цилиндрической и сферической частей пленок.
Ответ. Радиус цилиндрической пленки г вдвое меньше радиуса сфери-
ческих частей пленки R.
16. Решить задачу 14 в предположении, что не только боковая поверхность, но и плоскости колец затянуты мыльными пленками.
Решение. Форма боковой поверхности пленки определится из требования, чтобы полная кривизна ее — + — оставалась постоянной. (В отличие
Al А 2
от задачи 14 эта постоянная, вообще говоря, отлична от нуля.) Это приводит к дифференциальному уравнению
- ---------------------------—-= const S= 2К. (109.32)
uVi+y°- o+f/'T’
(Обозначения те же, что и в задаче 14.) Вводя снова подстановку у = sh 0, получим . / t х
тА^вугЖу' (109-33)
откуда , л
5Г0 = % + у, (109.34)
где А — постоянная интегрирования. Определив отсюда sh 0 с помощью формулы sh2 0 = ch2 0 — 1и вспомнив обозначение у = sh 0, найдем:
х= \ —- Ку~ л----------Лу + в, (109.35)
' Vy*-{Ky*+AY
где В — вторая постоянная интегрирования. Постоянные интегрирования Л и В определяются из граничных условий: у = R при x = ±h. Формула (109.35) совместно с этими граничными условиями и решает задачу.
Если А = 0, то интегрирование в (109.35) выполняется элементарно и дает
где а — постоянная интегрирования. При а = 0 получается окружность радиуса R = l/К с центром в начале координат. Это решение соответствует случаю,
когда радиус колец обращается в нуль. При а = + \/К получается окружность
с центром х = + ПК, а при а — — 1 /К — с центром х = — l/К- Обе окружности имеюг один и тот же радиус R = 1 //С и касаются друг друга в начале координат. Эти решения соответствуют также случаю, когда расстояние между кольцами равно удвоенному радиусу кольца.
438 ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ [ГЛ. IX
17. В задаче 15 давление воздуха внутри пузыря слегка изменяется, вследствие чего прямолинейные образующие цилиндрической поверхности искривляются. Показать, что если искривление мало, то образующая примет форму синусоиды, причем ее период будет равен длине окружности 2яг основания невозмущенной цилиндрической пленки. Пользуясь этим результатом, доказать, что при увеличении давления воздуха внутри пузыря, когда его длина меньше яг, пузырь будет выпучиваться, а при уменьшении давления — сужаться. Если же длина пузыря будет больше я г, но меньше 2я г, то увеличение внутреннего давления заставит боковую поверхность пленки сделаться вогнутой, а уменьшение — выпуклой.
Решение. В уравнении (109.32) пренебрежем квадратом первой производной у'. Тогда для кривизны боковой поверхности пленки 2/С получим
2 К=——у".
У
Положим у — г + tj, где Г) г. Пренебрегая квадратом *), можем написать
1 _ 1 __ Г]
~у~Т~7**
2K--J—ч"-?. (109.36)
Поскольку кривизна 2К постоянна, интегрирование этого уравнения дает
A cos -у-\-В sin “-+С,
где ЛшВ — постоянные интегрирования, а постоянная С равна г — 2/(г2. Постояннаяравна нулю, так как функция г) (х) должна быть четной. При x = ±h
h
должно быть г) = 0, т. е. A cos--(-С=0. Следовательно,
Таким образом, образующая цилиндра принимает форму синусоиды. Для кривизны боковой поверхности из (109.36) получаем
1 , A h 2^=7 +72 «*т.
При увеличении давления внутри пузыря кривизна 2К должна увеличиваться. Если — < —¦ t т.е. длина пузыря 2h меньше пг, то cos — > 0. Поэтому постоянная А должна быть положительной. Значит, при увеличений давления внутри пузыря его боковая поверхность будет выпучиваться. Если же — > , т. е. длина пу-
