Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
ЭНТРОПИЯ II ВЕРОЯТНОСТЬ
297
б пределах одной и той же объемной ячейки не меняет микрососто-яння газа. Переход же молекулы из одной ячейки в другую приводит к изменению микросостояния. Пусть pi есть математическая вероятность того, что какая-либо определенная молекула попадает В І-Ю объемную ячейку. Очевидно, Pi | р., -1- ... + Рт = 1. Если нет силовых полей, действующих на газ, то pL = VJV. Найдем математическую вероятность микросостояния, когда в ячейке 1 находится Nx молекул с определенными номерами, в ячейке 2 — N2 также определенных молекул и т. д. По теореме умножения вероятностей она равна Р^'Р'У' ... /V" •
Если все молекулы газа, как мы предполагаем, тождественны, то с макроскопической точки зрения не имеет значения, какие именно молекулы находятся в той или иной ячейке. Для полного задания состояния газа надо указать только общие числа молекул в каждой объемной ячейке, по не их номера. Состояние газа, описанное таким образом, называется макросостоянием. Его можно изобразить следующей схемой:
В отличие от мнкросостояння всякая перестановка молекул без изменения чисел N і, №>, ... , Nm не меняет макросостояння, независимо от того, производится ли эта перестановка в пределах одной объемной ячейки нлп в пределах объема всего газа.
9. Определим математическую вероятность макросостояния (80.6) с заданными числами частиц Аь А2, ... , Nm. Возьмем какое-либо микросостояние с теми же числами частиц в объемных ячейках. Представим себе, что все N частиц в этом микросостояиии закреплены на своих местах. Произведем затем всевозможные перестановки всех N частиц. Поскольку места, в которых они могут находиться, фиксированы, при таких перестановках общее число молекул в каждой объемной ячейке останется неизменным. Мы получим всевозможные комбинации частиц с требуемыми числами Nlt N j, ... в ячейках, которым предписано занимать закрепленные места. Число таких комбинаций равно А! . Однако при таком подсчете мы считали различными и такие комбинации, которые получаются друг из друга перестановкой частиц в пределах одной и тоіі же объемной ячейки. Такие перестановки к новым микросостояниям не приводят. Число перестановок в пределах, первой ячейки равно A'V , в пределах второй — А2! и т. д. Поэтому для получения числа G всех возможных микросостояний надо N1 разделить на Nil N о! ... Ага! . Итак,
число молекул
ячейки
1 2 ... т
Nt N2 ... Nт.
(80.6)
(80.7)
298 СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ [ГЛ. VI
Чтобы получить вероятность Р макросостояния (80.6), надо эти числа умножить на вероятность одного микросостояния. Это дает
п N. N„ N iQr\ о\
==ІУ1!Д'2і ... N т\ Pi Рч~---Рт ¦ (80.8)
До сих пор на объемы ячеек Уъ V2, ... , Vm мы не накладывали никаких ограничений. Наши рассуждения применимы и в тех случаях, когда газ находится в силовом поле. Вероятности ръ р2, ... , рт в этих случаях, вообще говоря, различны. Допустим теперь, что силовых полей нет, а объемы ячеек Vlt V2, ¦¦¦ выбраны одинаковыми. Тогда станут одинаковыми и вероятности р1у р2, ...
и притом равными . Вместо формулы (80.8) получится
Vl\w
p = G\v
іЧножитель при G постоянен, т. е. не зависит от Nt, N2, ... На него можно сократить и принять за вероятность макросостояния величину G. Эта величина G и будет статистическим весом рассматриваемого макросостояния. Таким образом, статистический вес макросостояния можно определить как число равновероятных микросостояний, каждое из которых реализует это макросостояние.
ЗАДАЧИ
1. Выразить средний квадрат флуктуации Д/2 = (/ — /)2 произвольной физической величины / через f2 и f.
Решение. Д/2 = (J — /)2 = р — 2// + /2. Так как // = ff — /2, то отсюда П0ЛуЧаЄМ Др-р-Г. (80.9)
2. Пусть F — какая-либо аддитивная физическая величина, характеризую щая систему N молекул идеального газа, так что f = У где величина/г характеризует і-ю молекулу того же газа. Выразить средний квадрат флуктуации величины F через средний квадрат флуктуации величины /г.
Решение. На основании определения
(Мы опустили индекс і, предполагая, что все молекулы газа тождественны.) Далее, _______
Г*=(И /О2=2>?+222 fit і=n]2+n(n- і) и,, i<!
fifj—Qi+kfi) (//+Д/,)-
Учитывая, что A/; = Д/у = 0, а также ft — f. = /2, из последней формулы получаем fifj — /2 + Д/уД/у. Но молекулы идеального газа независимы, а потому Д/уД/у = 0. Следовательно, /,-/у = /2. Подставляя соответствующие величины в формулу (80.9), получим
AF**=N (ft—]*)•=¦ N Ер. (80.10)
ЭНТРОПИЯ И ВЕРОЯТНОСТЬ
299
Вычислим также относительную флуктуацию величины F. По определению она равна .—__ _ -- ___.
V Afa ^ /УУ У Кр _ 1 ]/ Ад2
f _ Л?/ ">Tv f
С увеличением Л' относительная флуктуация величины F убывает обратно пропорционально VN. Прн больших N относительные флуктуации ничтожны. С этим связана достоверность термодинамических выводов для больших систем.
3. В закрытом сосуде объема V в отсутствие силовых полей находятся N молекул идеального газа. Определить среднее число молекул и его флуктуации в объеме v, являющемся малой частью объема V.
Решение Пусть р — вероятность нахождения какой-либо определенной молекулы в объеме v, a q = 1 — р — в оставшемся объеме V — V. Очевидно
