Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
организм в квантовомеханическом смысле определен неполностью: живому
организму должно отвечать много состояний у. Обозначим число этих
состояний через п. Ясно, что п много меньше числа N состояний материала,
служащего питательной средой: ведь большинство состояний этого материала
не являются "живыми". Итак, п N. Обозначим п векторов, соответствующих
живому организму, через vk (индекс k пробегает значения от 1 до п). Тогда
любая линейная комбинация векторов vh также будет представлять "живое"
состояние. Следовательно, необходимо рассматривать п начальных состояний
ф(у) = п<;) X да или Фи!ц = п^далц. (6)
Конечное состояние, возникающее при взаимодействии состояния уФ с
питательной средой (которую мы по-прежнему будем предполагать имеющей
одно состояние да), обозначим через 4f(j), Зависимость 'F(j) от двух
первых индексов может нмрть
166
III. Квантовая механика
вид произвольной линейной комбинации п2 векторов о<и> X и<'>.
Следовательно,
(7)
k, I
и вместо (5) мы получаем уравнение
2 4° = 2 (8)
ft, / И', А', ц'
Это уравнение должно выполняться при любом / и, как и прежде, при любых
и, X и ц. Всего получается nN2R комплексных или 2nN2R вещественных
уравнений.
Неизвестными являются величины у, w и и. Нетрудно видеть, что имеется nN
величин v и (как и прежде) NR величин w. Величин же и насчитывается n3R,
поскольку каждый из индексов i, k и I может принимать п значений, а
индекс ц принимает R значений. Для простоты будем считать, что все
неизвестные и переменные независимы. Тогда число неизвестных будет равно
числу переменных, если справедливо равенство
nN2R = tiN + NR + n3R. (9)
В силу неравенства п "С N левая часть выражения во много раз больше
правой части, поэтому равенство (9) выполняться не может. Даже если
допустить, что одно из произведений произвольно [т. е. что vV'i в формуле
(8) означает произвольное состояние, "живое" или "неживое"], то число
неизвестных и возрастет лишь до n2NR и правая часть (9) будет по-прежнему
меньше левой части. Отсюда мы делаем вывод: если взаимодействие S
"устроено" так, что оно не гарантирует самовоспроизведение организма, то
вероятность того, что любое состояние питательной среды приведет к
размножению любого набора состояний, мощность которого во много раз
меньше мощности всех допустимых состояний организма, чрезвычайно мала.
Как уже говорилось ранее, при проведении подсчета мы не учитывали того,
что не все уравнения (8) независимы и, следовательно, что неизвестные
нельзя выбирать произвольно. И соотношения между уравнениями и
соотношения между неизвестными являются следствиями унитарности матрицы
S. Однако, как показывают более подробные вычисления, соотношений между
уравнениями имеется ровно столько же, сколько соотношений между
неизвестными, и, поскольку п <С Л/', ни те, ни другие не влияют сколько-
нибудь существенно на величину правой и левой частей формулы (9). Таким
образом, выводы этого раздела статьи остаются в силе и в том случае,
когда не все уравнения и не все неизвестные независимы.
11. Вероятность существования самовоспроизводящейся системы 167
НЕДОСТАТКИ И ОГРАНИЧЕННОСТЬ ПРЕДЫДУЩИХ ВЫКЛАДОК1)
Даже проведенные вычисления, исходящие из предположения о том, что жизнь
описывается многими квантовомеханическими состояниями, далеко не
реалистичны. Причиной затруднений является то, что мы молчаливо
подразумевали: после взаимодействия с питательной средой по крайней мере
один организм заведомо выживает. Ясно, что никаких видимых причин для
такой уверенности у нас нет. Скорее наоборот, реалистичная модель должна
была бы допускать -любое конечное состояние, но требовать, чтобы сумма
вероятностей состояний с двумя живыми организмами намного превышала '/г-
Вместо равенства (8) такое требование привело бы к некоторым
неравенствам, которые поддаются анализу с гораздо большим трудом, чем
равенство (8). Поскольку их рассмотрение еще не закончено, мы не будем
приводить здесь полученных нами результатов. Следует все же заметить, что
шансы на существование набора "живых" состояний, для которого можно
подобрать такую питательную среду, что любое взаимодействие с ней всегда
приводит к размножению, по-прежнему остаются нулевыми.
Наш результат противоречит известной конструкции само-размножающихся
машин, предложенной фон Нейманом2). Пытаясь сопоставить данные
предыдущего раздела нашей статьи с явной конструкцией Неймана, мы без
труда обнаруживаем, что соответствие между ними невозможно по простой
причине: модель, используемая Нейманом (основанная на универсальной
машине Тьюринга), может принимать лишь дискретное множество состояний, в
то время как все наши переменные (о, да) непрерывны. Именно дискретность
множества допустимых состояний его модели позволяет Нейману постулировать
идеальное поведение системы и найти такую замену уравнений движения,
которая делает самовоспроизведение возможным. Для нас же первостепенную
важность имеет вопрос о том, можно ли ожидать, что и реальные уравнения
