Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
В этих уравнениях Gi; представляет собой тензор Эйнштейна, gtj -
метрический тензор, T'jj - тензор энергии, а Л и и - две универсальные
постоянные. Уравнения поля можно, разумеется, записать также в
контравариант-ной и в смешанной формах.
Так как мы уже приняли уравнения сохранения (4.74), то необходимо
удостовериться, совместны ли они с уравнениями поля (4.108). Эта
совместность становится очевидной, если вспомнить тождества (1.111),
которым тензор Эйнштейна удовлетворяет. В самом деле, из (4.108) следуют
равенства
хТ[5- = Л^-О|'- = 0. (4.109)
Рассмотрим теперь уравнения (4.108) с точки зрения физической
размерности. В общей теории относительности определенную физическую
размерность могут иметь только инварианты. Размерность компонент тензора
зависит от размерности используемых координат, однако ясно, что для любой
компоненты тензорного уравнения в целом все слагаемые должны иметь
одинаковые размерности. Это освобождает нас от забот, связанных с
построением инвариантов; вместе с тем полезно условиться измерять
координаты единицами времени (в секундах). Поскольку элемент ds сам
представляет собой время, то тензор gij - безразмерный, a Gij имеет
размерность сек2, так как содержит два дифференцирования по координатам.
Отсюда видно, что постоянная Лимеет размерность сек'2. Однако определить
размерность постоянной х невозможно, так как в тензор Ti3 входит масса, в
смысле размерности стоящая особняком. Припишем теперь массе (или равным
образом энергии) размерность, приняв, что константа х представляет собой
безразмерное число. Проще всего, казалось бы, положить х равной единице,
однако позднее это привело бы к появлению излишнего множителя. Имея в
виду это обстоятельство, мы положим
х = 8я, (4.110)
но так как удобнее писать просто х, мы сохраним это символическое
обозначение для числа (4.110).
Из (4.108) видно, что теперь плотность приобрела ту же размерность, что и
Л, т. е. сек'2. В таком случае масса или энергия принимают размерность
времени и должны измеряться в секундах. Однако, пока не проведено
сравнение гравитационного поля теории относительности с физически
реальной действительностью, выразить граммы в секундах невозможно.
Константу Л называют космологической постоянной-, как указывает это
название, она была введена Эйнштейном при рассмотрении весьма общих
проблем астрономии. Обычно ее считают настолько малой (по сравнению с
другими физическими величинами той же размерности), что в обычной
небесной механике ее влиянием можно полностью пренебречь, и даже в
космологии ее физическая значимость представляется сомнительной. Поэтому
в большей части нашей работы усложнение уравнений, вызываемое включением
Л, едва ли компенсировалось бы увеличением их общности, так что мы
отбросим космологическую константу1), помня, что ее можно при
*) Паули [881] предложил вообще ее отбросить, следуя позднейшим взглядам-
Эйнштейна [282] (ср. Эйнштейн [286] р. 127).
§ 5. Уравнения поля и сравнение с теорией Ньютона
159-
необходимости учесть в космологических исследованиях. Итак, будем впредь
(до соответствующей оговорки) пользоваться уравнениями
- - хТц, х = 8 л. (4.111)
В пустоте тензор энергии равен нулю, и мы имеем
Gy = 0. (4.112)
Эти уравнения, очевидно, равносильны тому, что
Rn = 0. (4.113)
Уравнения гравитационного поля общей теории относительности
своим видом никак не напоминают уравнений теории Ньютона. Однако мы
обнаружим сейчас их тесную связь, рассматривая в теории
Ньютона
и в общей теории относительности движение жидкости без давления, т.
е.
движение некогерентной жидкости или облака пыли (см. § 4). В обоих
случаях время и длина будут измеряться в секундах [1 сек = 2,998-1010 см,
как и в (3.134)]. Ньютоновская масса будет измеряться в граммах, а
релятивистская - в секундах.
Рассмотрим сначала уравнения второго закона Ньютона, обозначая плотность
через Q, скорость через иа, гравитационный потенциал череа ср и
гравитационную постоянную через у:
e(^r + u"-v uv) =еФ>в. (4.114>
Кроме этих динамических уравнений, имеет место сохранение массы
(е"а),а = 0 (4.115>
и уравнение Пуассона
-4ltYQ- (4.116)
Чтобы сравнение с теорией относительности стало возможным, следует
рассматривать физические величины, измерение которых не предлагает
использования гипотетической инерциальной (неускоренной) системы отсчета.
В этом смысле наблюдаемой физической величиной будет иа, р, но не dua/dt.
Поэтому мы займемся вычислением скорости изменения: иа, р по течению
жидкости:
иа, р = ма, 3 Ч" ua, 3yuy- (4- ^
Деля (4.114) на q и производя частное дифференцирование по Xp, получаем
Ua, 3 "t" YP^Y "Г Y^Y. Р = Ф. "Р> (4- ^ ^)'
так что
Р'= - "а. YUY. Р + Ф, "3- (4.119)
Перейдем теперь к уравнениям поля Эйнштейна (4.111), которые для случая
некогерентной жидкости имеют вид
ПГ=-1, (4.120)
где [х - плотность, а У1- 4-вектор скорости. Аналогом "а, р здесь будет
Vil j, и нам предстоит вычислить скорость изменения этой величины вдоль-
