Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
сохраняющие конечную величину в пределе т-> 0, т. е. при переходе от
материальных частиц к фотонам или внутренним импульсам.
ИЯ Среди перечисленных выше моментов два особенно интересны: это величины
(4.13) и (4.14), которым мы дадим особые названия и специальные
обозначения. Величину
N
^ v (х, р) т 1pidp='\> v (х, р) vi dp (4.22)
назовем числовым вектором и, полагая в (4.9) <7=1, заметим, что
е (ri) N^ dS - (4.23)
представляет собой числовой поток сквозь поляризованную мишень dS,
т. е. число частиц, совершающих отрицательные переходы. Обращаясь
к выражению (4.14), запишем
Ti}¦ = J v (х, р) m-1pipj dp=^ v (х, р) dp (4.24)
и назовем эту величину тензором энергии; отметим очень важное ее свойство
- симметрию:
Т,, = ТзЧ. (4.25)
146
Г л. IV. Материальные среды
Тогда из (4.18) следует, что величина потока ковариантного 4-импульса Pi
через поляризованную мишень dS равна
е(п)Т^п! dS; (4.26)
полагая в (4.9) q = pv мы замечаем, что эта величина равна полному
ковариантному 4-импульсу частиц, совершающих положительные переходы через
dS, минус полный ковариантный 4-импульс частиц, совершающих отрицательные
переходы.
Так как рассуждения относились лишь к бесконечно малым величинам
рассматривавшихся параметров, то общая теория относительности не играла
заметной роли -мы могли бы иметь дело с плоским пространством-временем.
Используя компоненты ^(га) ортонормированного 4-репера в качестве
пространственных осей, а ^(\) - как временную ось, мы можем дать полезные
словесные описания инвариантных компонент N{ и Tijr выбирая поочередно
вектор пг вдоль всех векторов репера. Таким образом,
N(a) = N= Поляризованное число частиц, пересекающих единичную площадь за
единицу времени; (4.27)
7V(4) = - N(i) - Число частиц в единичном объеме.
Принимая во внимание симметрию Тц и определяя натяжения с помощью потока
3-импульса с учетом обычного условия положительности растяжений и
отрицательности давления, получаем
_ уЧаР) _ __ т^ _ д\атрица напряжений;
Т("4) = Т(4га) = - Т (а4) = - Г(4") = Поляризованный поток энергии сквозь
единичную плошадку за единицу времени; плотность 3-импульса; (4.28)
Т<44> = Т1Ш - Плотность энергии.
Мы поднимаем и опускаем лоренц-индексы, как и в (1.54). Величины не
изменяются при поднятии или опускании индексов 1,2,3, но меняют знак
всякий раз, когда мы опускаем либо поднимаем индекс 4.
§ 2. Законы сохранения в статистической модели
До сих пор мы развивали статистическую модель, не привлекая гипотезы о
геодезических и без какого-либо закона сохранения при столкновениях.
Теперь мы введем гипотезу о геодезических: мировая линия
каждой
частицы остается геодезической между столкновениями, причем вектор
р1
претерпевает параллельный перенос. Что же касается законов сохранения, то
сохранение 4-импульса является одним из самых фундаментальных физических
законов, и мы будем предполагать, что оно имеет место при каждом
столкновении. Поскольку каждое столкновение изображается отдельной
точкой, в запись законов сохранения не входят векторы, относящиеся к
различным мировым точкам.
Вопрос о сохранении числа частиц оказывается менее определенным.
В кинетической теории газов мы предполагали бы сохранение числа частиц,
коль скоро допустимо стало бы не принимать во внимание фотоны. Однако,
зная о существовании аннигиляции и порождения частиц, а также о
присутствии излучения в виде фотонов (не говоря уже о гипотетических
внутренних импульсах), мы не решаемся ставить сохранение числа частиц в
один ряд с сохранением 4-импульса.
§ 2. Законы сохранения в статистической модели
147
Таким образом, в дальнейшем мы будем учитывать гипотезу о геодезических и
закон сохранения 4-импульса. Пусть S представляет собой замкнутую
трехмерную поверхность в пространстве - времени (фиг. 52). Вве-
Ф и г. 52а. Отсутствие столкновений.
Фиг. 526. Столкновение.
дем поляризацию этой поверхности, строя единичный вектор внешней нормали
п\ Тогда поток 4-импульса через элемент dS выражается, как и в формуле
(4.26), равенством
Поток 4-импульса = е (п) Т^п' dS.
(4.29)
Полный поток 4-импульса через поверхность 5 нельзя получить посредством
интегрирования этого выражения, так как в рассматриваемом искривленном
пространстве - времени мы не имеем права складывать векторы, относящиеся
к различным точкам. Поэтому мы введем векторное поле W1, выбираемое
произвольным образом в точке О внутри 5, но определенное на всем R
(внутренней области S) по правилу параллельного переноса вдоль
геодезических, проходящих через точку О. Отсюда по построению следует,
что в точке О
WiU = 0.
(4.30)
Рассматривая компоненты величин относительно W1, получаем вследствие
(4.29) и (4.9) два следующих эквивалентных соотношения:
Полный поток ^-компоненты 4-импульса через 5 =
= J е (п) 'PiWirij dS = ^ WiPl - 2 WiPl,
(4.31)
где 2+ относится к частицам, покидающим R (положительные переходы), и 2-
- к частицам, входящим в R (отрицательные переходы).
Взяв 5 малой, так чтобы линейные размеры этой поверхности имели порядок
