Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
30______Гл. I. Тензорные формулы для риманова пространства
- времени
Так, в частности,
"г
(?V)U'=U1 = k (V2 - V,) + k ^ (u2 - u) KV du. (1.153)
"1
Если теперь подставить в качестве V, стоящего под знаком интеграла,
выражение (1.150), то
(?>V)U=U1=:MV2-V1) +
и2
+ ^ (u2 - u)K[(u2 - u)\1 + (u - u1)V2]du + 02. (1.154)
Ui
Особый физический интерес представляет тот случай, когда мы имеем дело с
изотропными геодезическими, показанными на фиг. 5, а кривые Сх и С2
разделены большим интервалом, причем кривизна пространства - времени
чрезвычайно мала всюду, за исключением области, непосредственно близкой к
этим кривым. Ради математической простоты прибегнем к идеализации,
предполагая, что пространство-время плоско при
"1< "!< Ч2< и2,
так что мы имеем "полосы", как показано на. фиг. 6. Так как при ы1<и<и2
матрица К = 0, то из (1.153) следует, что
(?>V)U=U1 = ?(V2-V1) +
til U2
+ k J (u2~u)KVdu + k ^ (u2 - u) KV du. (1.155)
tig
Чтобы на самом деле получить случай, когда кривые Cj и С2 "разделены
большим интервалом", мы допустим, далее, что (ыг - иг)~>со (т. е. >0),
оставляя в то же время (ы2 -"2) и (и2 - и2) конечными. Тогда произведение
k(u2 - u) стремится к единице в первом интеграле и к нулю во втором, так
что
"1
(?>V)U=U1= J KVdu. (1.156)
Ui
Подставляя в этот интеграл выражение для V из (1.150), получаем простую
формулу
ui
(DV)U=U1=(^ Kdn)vi + 02. (1-157}
Ul
С помощью этой формулы начальное значение производной отклонения
выражается через начальное значение отклонения и интеграл от тензора
Римана. С чисто геометрической точки зрения приведенные выше рассуждения
могут показаться несколько скучными вследствие искусственного характера
сделанных допущений. Однако когда мы придем в гл. XI к рассмотрению
аберрации, полученное нами представление о "полосах" кривизны окажется
весьма полезным.
Отклонение геодезических будет снова обсуждаться в гл. II (§ 3), где
используются другие обозначения, связанные с применением операторов
параллельного переноса.
Ф и г. 6. "Полоса" кри-
§ 7. Гамильтонова теория лучей и волн
31
§ 7. Гамильтонова теория лучей и волн
Гамильтонова теория лучей и волн носит весьма общий характер и ее
изложение наиболее легко провести в довольно абстрактной форме г). Так,
по-прежнему имея в виду четырехмерное пространство -время, мы все-таки не
будем предполагать существование тензора gi3-.
Примем на момент еще более общую точку зрения и представим себе
восьмимерное пространство У8 с координатами (хг, у{). Ковариантные
индексы при у используются из соображений, которые станут ясными в
дальнейшем. Сущность гамильтонова подхода связана с представлением о
некоторой гамильтоновой поверхности 2 в Va как о семимерном пространстве,
определяемом уравнением
(c)(х, г/) = 0. (1.158)
Важно отметить, что задается именно поверхность 2, а не функция (c)(х, у).
В элементарной геометрии окружность единичного радиуса можно задать
множеством уравнений, например
*¦ + "*= 1, + 1.
(x2-i-i/2- 1)2 = 0, (xa + i/2)2=l.
Точно так же и поверхность 2 можно описать посредством большого
разнообразия функций (c) в (1.158). Однако независимо от того, какую
функцию (c) мы при этом выберем, смещение (6х1, бyt) лежит на 2 тогда, и
только тогда, когда
, С - |^6х' + |^ = 0; (1.160)
следовательно, в любой заданной точке поверхности 2 отношения восьми
величин
дсо ды у 1 1 л *.
Ж (U61>
имеют определенные значения. Действительно, мы можем записать
(U62)
где восемь величин <р4, ф4 заданы сразу на всей поверхности 2, а 0 -
произвольная функция точки, лежащей на 2.
Рассмотрим какую-нибудь кривою Г на 2 и интеграл
'=\yidx\ (1.163)
взятый вдоль Г. Мы ищем экстремумы / (б/ = 0) относительно вариаций
кривой, лежащей на 2. Чтобы учесть это побочное условие, мы заменим/.
интегралом
J (yidxl- Kadu), (1.164)
где и - параметр, меняющийся в пределах между конечными значениями,
одинаковыми для всех рассматриваемых кривых, а К (и) - лагранжев
*) О различных аспектах гамильтоновой теории см. работы [1173, 1176] и
статью Синга по классической динамике, в Handbuch der Physik, Bd. 3, Ti
1, Berlin, 1962.
32 Гл. I. Тензорные формулы для риманова пространства - времени
множитель. Выполняя варьирование и интегрируя по частям, получаем
Для экстремума потребуем, чтобы 6У = 0 при произвольных вариациях Ьх1,
Ьу{, Ьк, при единственном условии 6л:* = 0 на концах Г. Отсюда мы получим
уравнения экстремалей в виде
Лагранжева функция к (и) остается неопределенной; это соответствует
произвольности 0 в (1.162). Для любой выбранной функции ю мы можем
подобрать параметр и так, чтобы уравнения экстремали приняли гамильтонову
или каноническую форму
Экстремум определяется значениями (л:1, г/{) для " = 0 при условии со(х,
у) - 0.
Интерпретируем теперь изложенное выше, используя в качестве исходного
геометрического пространства вместо V6 четырехмерное пространство-время с
координатами х1. Мы рассматриваем теперь ух как некоторый вектор,
связанный с точкой х1. Гамильтонова поверхность 2 уже более не семимерное
