Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
А0, Аг (фиг. 2), так что получается семейство кривых с фиксированными
концами. Тогда на концах W = 0, и (1.29) принимает вид
dl_
dv
wi
(1.30)
"•
Мы определим геодезическую как такую кривую, на которой для вариаций,,
оставляющих фиксированными конечные точки, значение / стационарно. Это
означает, что dl/dv = 0 для произвольных V1 везде, кроме конечных точек,
и, таким образом, геодезическая удовлетворяет уравнениям
6СЛ _ _д_ dx* Ьи ди du
d2x' ri dx< dxk n
(1.31)
и =u0
Фиг. 2. Вариационная задача для геодезических с фиксированными конечными
точками.
du* 1 du du Эти уравнения допускают первый интеграл
g'*'Sr'Sr;=Efe2' или ds:=kdu< U-32)
где. k - константа, а е - индикатор для временноподобной или
пространственноподобной геодезической; геодезическую называют изотропной,
если k = 0. Мы будем употреблять термин "геодезическая", включая в это
понятие и "изотропную геодезическую".
Каждая геодезическая имеет класс канонических параметров, для которых ее
уравнения имеют вид (1.31), причем переход от одного канонического'
параметра к другому линеен1):
и' = аи + Ь. (1.33)
При других преобразованиях параметра в правой части'появляется член,
пропорциональный dx'/du. (
Для неизотропной геодезической можно подобрать канонические параметры
так, чтобы k = 1, и, следовательно, для каждого такого
параметра мы имеем du = ds. Таким образом, уравнения (1.31)
можно записать
в виде
dx* _ d*x' "i dx> dxh _ ~
Fs~dT~ j* -- - u-
ds ds
(1.34)
и*, личины а и b - постоянные.- Прим. ред.
16 Гл. /. Тензорные формулы для риманова пространства - времени
Применяя вариационный принцип б/ - О при фиксированных конечных точках,
мы нашли не только класс кривых (геодезических), но также и класс
канонических параметров для них. Чтобы интерпретировать интеграл /,
заметим, что для любой неизотропной кривой х1 = х' (и) при и0< и < иг
можно подобрать особый параметр, скажем и', определяемый соотношением
где s - расстояние текущей точки от точки, в которой и = и0, a L -
значение s при и = йг Легко показать, что при таком выборе параметра
интеграл / в (1.27) принимает значение
Равенство (1.36) справедливо и для изотропных кривых, поскольку оно в
этом случае обращается в тождество 0 =0.
Таким образом, исходя из вариационного принципа, получаем
Это соотношение содержит в себе и более привычное вариационное уравнение
при условии, что L Ф 0. Преимущество принятого выше способа состоит в
том, что он без какого-либо специального рассмотрения применим и к
изотропным геодезическим; уравнению же (1.38) было бы, возможно, разумно
оставить лишь историческое значение.
Рассмотренные выше вопросы тесно связаны с теорией мировой функции,
которую нам предстоит обсудить в гл. II. Здесь же сделаем лишь один
дальнейший шаг в нашем рассмотрении. Вернемся к фиг. 1 и уравнению
(1.29). Пусть соединяющие кривые на фиг. 1 будут геодезическими, а и -
каноническим параметром на каждой из них, пробегающим все значения между
фиксированными значениями ы0, их на концах. Тогда (1.29) сведется к
следующему:
Интеграл / оказывается теперь функцией координат Л0 (назовем их х1') и
координат Ах (назовем их х1), а формула (1.40) для производных этой
функции позволяет записать
Эти формулы имеют место также и для изотропной геодезической. Правые
части инвариантны относительно преобразований канонического параметра.
Для неизотропной геодезической мы имеем более простые формулы:
"' - "о = ("! - "о) X •
(1.35)
7(и)=уе7А
(1.36)
б (L2) = 0.
(1.37)
(1.38)
(1.39)
или в записи через вариации б
б/= (",-*/,) [ь-иЪх1]*
(1.40)
(1.41)
§ 3. Ортонормированные реперы и формулы Френе - Серре
17
где X1' и - единичные векторы, касательные к геодезической в точках А0 и
Аг соответственно, так что они определяют ориентацию^A0Alt a L - конечная
мера кривой А^1).
§ 3/Ортонормированные реперы и формулы Френе-Серре
Говорят, что Гчетыре гвзаимно ортогональных единичных вектора образуют
ортонормированный репер (сокращенно ОР). Векторы ОР можно обозначить
через А,(а), где i - контравариантный тензорный индекс, а а - номер,
позволяющий различать векторы ОР. Ковариантные компоненты того же самого
ОР имеют вид
^(a)i = gijX(a). (1.43)
Три из четырех векторов ОР обязательно пространственноподобны, а один
временноподобен. Мы будем всегда так нумеровать векторы, чтобы Xj4) был
временноподобным.
Тогда условия ортонормируемости можно записать в виде
^(a)V)< = 1l(ab)' (1.44)
где
^(ab) = чг1(аЬ> = d mg (1, 1, 1, -1) (1.45)
представляет собой инвариантную диагональную матрицу с указанными
элементами. Она удовлетворяет соотношению
T](ot')r](aC) = Sc, (1.46)
и, следовательно, с точки зрения матричного исчисления представляет собой
корень квадратный из единицы.
Чтобы обеспечить простоту в дальнейшем, нам придется ввести здесь
некоторые усложнения. Номера при векторах не имеют смысла
тензорных
индексов, и тем не менее мы будем поднимать и опускать их
с помощью
т]-матрицы. Таким образом определим
