Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
систему:
А со 1 - А со2Я3 -{- Ссо3со2 ~ G{t А со2 - А со j Я3 -f- С CO3CO1 = G2,
Сы3 = G3.
Первые два уравнения можно представить в комплексной форме1) так:
Асо + (АЯ3 - Ссо3) tсо = Г, со = со 1 -ф гсо2, Г = Gi -f- iG2.
(49.17)
(49.18)
с) Эта форма полезна для баллистики и других проблем устойчивости; ср. К.
L. Nielsen and J. L. Singe: Quart. Appl. Math. 4, 201 (1946); E. J.
McShane, J. L. Kelley and F. V. Ren o: Exterior Ballistics, стр. 176.
(Denver: University Press 1953); S. О' В г i e n and J. L. Sing e: Proc.
Roy. Irish. Akad. A56, 23 (1954). Комплексные обозначения полезны также d
теории волчка Ковалевской (§ 56),
138
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. I
у) Тело со сферической симметрией (А ~ В - С). Теперь уравнения (49.14)
еще более упрощаются,
для осей, закрепленных в теле. В этом случае мы можем выбрать Й
произвольно: если мы принимаем Й = О, то система (49.12) дает уравнения
(49.19), но при этом компоненты берутся по осям, неподвижным в
пространстве.
Возвратимся теперь к рассмотрению движения центра масс, определяемому
уравнением (49.8); здесь также можно использовать подвижный триэдр (i, j,
к). Пусть v - абсолютная скорость точки О и сила F разложены на
компоненты по осям триэдра (г, j, k)
Тогда уравнение (49.8) можно переписать в виде
В случае а) мы полагаем Й = <d. Уравнения (49.14) и
(49.22) представляют собой систему шести уравнений для шести компонент
векторов пню. Если мы найдем их как функции t, то для полного определения
движения требуется еще один шаг. Задавая для тела шесть обобщенных
координат q, мы выразим шесть компонент v и <о как
функции (q, q); затем, так как ним известны, мы имеем шесть
дифференциальных уравнений первого порядка, чтобы определить координаты
(q) как функции t, и, таким образом, полностью описать движение.
4ffli = 6?i, А й2 - ^2, Айз = (49.19)
v - Vii -f- Но/ -f- v-i k,
(49.20)
F - Fii + F2j + F^k.
(49.21)
пли в координатной форме:
т (- Q3v2 -|- Й2^з) - Fj,
m (v2 - Qii;3 + Q3i;i) = F2, (49.22)
m (v3 - Й2щ + Qii;2) = F3.
S 501 ДВИЖУЩИЕСЯ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА (39
Аналогично исследуются случаи (5) и у). В случае у) мы можем положить Й=
0 и тогда уравнения (49.22) преобразуются к виду
mvi = Fi, mv2 = F 2, mv 3 = F3. (49.23)
Эта теория охватывает важный случай твердого тела, вращающегося вокруг
неподвижной точки (см. § 55-57). Тело имеет три степени свободы и его
движение определено уравнением (44.5), которое формально идентично
уравнению (49.9). Но теперь h - момент импульса, взятый для неподвижной
точки, a G - суммарный момент сил относительно этой точки. При этом
изменении интерпретации приложима вся теория, начиная с уравнений (49:10)
до (49.19) включительно; но теперь А, В, С - главные моменты инерции
также для неподвижной точки, а не для центра масс.
В случае свободно движущегося твердого тела явное отнесение к центру масс
обходят, вводя моторную символику (Motorrechming) Штуди и Мизеса1).
§ 50. Движущиеся системы отсчета 2). Пусть 5 - твердое тело, находящееся
в заданном движении самого общего характера. Возьмем S в качестве системы
отсчета и найдем уравнения движения динамической системы относительно
этого тела. В § 32 мы решали такую задачу для одной частицы. Теперь
рассмотрим динамическую систему, состоящую из Р частиц со склерономными
голономными связями, так что имеются обобщенные координаты qp (q = 1, 2,
. . ., TV), определяющие конфигурацию системы относительно тела S; эти
координаты могут свободно изменяться, не нарушая связей.
Так, например, S может быть Землей, которая находится в орбитальном
движении вокруг Солнца и одновременно вращается вокруг своей оси; система
может быть
1) R. von М i s е s: Z. angew. Math. Mech. 4, 155, 193 (1924). Франк [51,
гл. IV - Biezeno С. В.: Handbuch der Physik, т. 5, стр. 247-250.
Springer, Berlin, 1927;-W inkelmann and Grammel [29], стр. 373-378;-Brand
L., гл.II, of. cit. § 12. R a h e г W.: Ost. Ing.-Arch. 9, 55 (1954).
2) О других методах исследования относительного движения см. Аппель [2],
т. II, стр. 239.
140
У 1> А ВIIЕ ПИ Я Д И И Ж ЕII11 И
1ГЛ. 1
твердым телом, одна точка которого закреплена па Земле; <7Р могут быть
тремя углами Эйлера относительно триэдра, закрепленного на Земле. Наш
план исследования состоит в том, чтобы привести S к ньютоновой системе
при помощи введения фиктивных сил. Аналогично уравнению (32.1), для одной
частицы, уравнения движения частиц можно записать в виде
mtai = Fi + Fot + Fci V Fti (i = l,...,P); (50.1)
здесь Ft - полная сила, действующая на частицу (активная сила + сила
реакции связи), а другие три вектора правой части - те же, что выражения
(32.2), но с индексами i, при символах т, г', v'. Пусть 6<7Р -
произвольные вариации обобщенных координат и пусть бг[ - соответствующие
смещения частиц относительно S. Умножив скалярно (50.1) на бг[ и суммируя
по i от 1 до Р, получаем уравнение
р р р
2 midibn - HFibn Н- 2F0;6r;
i= 1 i= 1 1
+ 3lFcibn + ZFtibr;. (50.1a)
i=l i=l
