Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
2 |?-e"i"2 <48Л7)
I--M + r=M + l
и так как вариации произвольны, то имеем
~^Qr (г ---- М -f 1, ..., А), (48.18)
dqr
134
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. I
т. е. приходим к уравнениям движения Аппеля в форме, важной для
неголономных систем1).
§ 49. Уравнения движения твердого тела. Рассмотрим твердое тело массы т с
центром масс в точке О и главными моментами инерции А, В, С относительно
точки О. Четыре числа т, А, В, С определяют тело как динамическую
систему.
Пусть q 1, q2, qs - обобщенные координаты, описывающие положение точки О
в абсолютном пространстве S0, и пусть q[, <?', q',t - обобщенные
координаты, описывающие положение тела относительно точки О, т. е.
определяющие направления главных осей, неподвижных в теле по отношению к
системе координат, неподвижной в пространстве. По теореме Кёнига (§ 25)
можно записать кинетическую энергию тела так:
Т = Та (q, q) + Г (q\ q), (49.f)
где Tо - кинетическая энергия частицы с массой т, движущейся вместе с
точкой О, а Г' - кинетическая энергия движения относительно точки О; эти
функции имеют вид
з з
Т 0= 2 apa(q)qpqa, 'Г' = 2 а'р0 (q) qpqp- (49.2)
р, (7=1 р, (7=1
Если координаты q - прямоугольные декартовы, координаты (х, у, z), то
имеем
То - m (х2 + у2 -f z2), (49.3)
а если координаты q - углы Эйлера (й, <р, ф), то имеем,
как в выражении (25.5),
1 ' 2
Т' = -7J- А (й sin ф - <р sin 9 cos ф)" +
1 ' 2
~г ~2 В (ft cos ф + ф sin й sin ф) +
+ С (ф + ф cos й)2- (49.4)
!) О приложении этих уравнении к сервомеханизмам см. Аппель [2], II, стр.
344-355.
i 491 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 135
В случае осевой симметрии (А = В) это выражение упрощается и принимает
вид
Т' = А (-в2 + ф2 sin2 -0•) + 4j С (iji -г ф cos ft)2. (49.5)
Пусть Qp, Qp (q = 1, 2, 3) - обобщенные силы, такие, что работа,
произведенная ими при произвольном перемещении, выражается формулой
3 3
т= 2Qpbqp+ ZQ'pbq'p. (49.6)
p = i p=i
Тогда имеем шесть лагранжевых уравнений движения, полностью аналогичных
(46.17),
А _ дГр _ * dt dqp dqp Р'
(Q"112'3)'1 (49J)
dt dq'p dq'p P
В левых частях уравнений координаты q отделены от координат q', но это
разделение, вообще говоря, не распространяется на правую часть; другими
словами, задача движения твердого тела в общем случае не разделяется на
две.
Эти лагранжевы уравнения имеют место для твердого тела без связей. Они
могут быть распространены также на случай наличия связей при условии, что
мы включим в Qp и Qp силы реакции связей.
При исследовании движения твердого тела часто более удобно применять
теоремы об импульсе и моменте импульса вместо лагранжевых уравнений.
Согласно (44.4) и (44.7) (отбрасывая звездочки), имеем два векторных
уравнения
та = F, (49.8)
h = G, (49.9)
где а - ускорение центра масс О, h - момент импульса, взятый для точки О
(движения относительно О), F - глав-
130
У РА В11Е ШШ Д 1)11 Ж Е Ш1И
1ГЛ 1
ный вектор внешних сил, G - главный момент внешних сил относительно точки
О.
Для того чтобы с помощью этих уравнений определить движение, мы должны
разложить их на компоненты по осям ортонормального триэдра. Для этого
можно выбрать триэдр, неподвижный в абсолютном пространстве, либо триэдр,
движущийся с телом, либо, наконец, какой-то третий. Позднее мы будем
рассматривать триэдр, неподвижный относительно абсолютного пространства;
для практических же целей лучше выбрать движущийся триэдр, оси которого
совпадают с главными осями инерции тела.
Рассмотрим сначала произвольный ортонормальный триэдр (г, j, к),
вращающийся с угловой скоростью Q. Разлагая h, G, Я по осям этого
триэдра, получим
h = h\i Ч- // >j 4" h$k, j G = GiiG2j \ Gik, | {49.10)
Я = Ян* H- Gl2j -(- Q3k. J
Тогда, согласно (20.3), можно написать уравнение (49.9) в виде
^+Qxfe = G, (49.11)
или в координатной форме,
hi - Л2Й3 Л3Й2 - Gii hz - Л3Й1 -j- /iiQ3 = G2, h% - h\Q2 "I- ^2^1 G%.
(49.12)
Пусть (i, j, к) - главные оси инерции тела для точки О, а А, В, С моменты
инерции для этих осей. Если ю - угловая скорость тела, то согласно
(24.14) имеем
о) = cott -{- со2 j + ю3Аг,
A = x!a>it-[ B(o2j + С(о3к.
(49.13)
Могут иметь место три случая:
а) Несимметричное тело (А, В и С - все различны). В этом случае триэдр
(/, j, к), если он совпадает с глав-
itfl
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛЛ
137
ными осями инерции, должен быть закреплен в теле. Поэтому Я = ю, и
равенства (49.12) вместе с (49.13) дают эйлеровы уравнения движения
твердого тела'.
- (В - С) со2со3 = Gi, Вы2 - {С - A) (O3W1 = G2, Сы3 - (А - В) со 1 со2 =
G3.
(49.14)
(49.15)
Р) Тело имеет ось симметрии (А = В Ф С). Тогда уравнения (49.14)
упрощаются и принимают следующий вид:
Acoj - (А - С) со2со3 = G1,
Асо2 - (С - А) Ш3СО1 = G2,
С со3 = G3.
В этом случае для того чтобы направления (г, у, к) были главными,
фиксировать их все в теле не обязательно. Достаточно зафиксировать в теле
одно только направление к. Тогда имеем условия
Qi = coi, Я2 = со 2; (49.16)
Я3 остается произвольным, и уравнения (49.12) превращаются в следующую
