Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
в покое или движущееся. S - представляет систему отсчета. Если Oxyz -
любые взаимно перпендикулярные оси, неподвижные относительно S, то любому
событию соответствуют четыре числа (х, у, z, t), где t - ньютоново
абсолютное время (см. § 4).
Кинематика рассматривает только относительные движения и для нее S так же
пригодно, как и S0¦ Различие между S и So появляется только в собственно
динамике (т. е. когда рассматриваются силы, производящие движение).
Пусть Р - движущаяся точка или частица. Ее скорость относительно S есть
вектор
v = г - (х, у, z). (17.1)
Здесь точки означают дифференцирование по t. Скорость направлена по
касательной к траектории точки Р и имеет
величину s, где s - длина дуги на траектории. Пусть хр - криволинейные
координаты в S, тогда линейный элемент S имеет форму ds2 = gpa dxр dxa,
где индексы q, а принимают значения 1, 2, 3 и предполагается, что по
повторяющимся индексам ведется суммирование.
Векторы
v° = з?, Vp = gpaxa (17.2)
являются соответственно контравариантным и ковари-антным векторами
скорости. Физическая компонента
60
КИНЕМАТИКА
[ГЛ. II
скорости по направлению единичного вектора с контрава-риантными
компонентами Яр (и ковариантными компонентами Яр) есть ортогональная
проекция вектора скорости
(17.1) на это направление, т. е. это инвариант1)
v (Я) = грЯр = грЯр. (17.3)
В цилиндрических координатах (/', ф, z) физические компоненты скорости по
координатным линиям суть
(г, гф, z). (17.4)
В сферических полярных координатах (г, О, ф) физические компоненты
скорости суть
(г, НЗ, г sin Оф). (17.5)
В системе координат (р, г) на плоскости (рис. 7) компо-
Рис. 7. Координаты (р, г).
ненты tv (вдоль радиуса-вектора) и pj_ (перпендикулярно ему) равны
vr = f, v± = - . (17.6)
V г - р
!) Если координаты ортогональны (т. е. gpa = 0 при дфа), то это
определение удовлетворительно. Если же система координат косоугольная, то
иногда удобно определить физические компоненты разложением по осям
косоугольной системы координат. Это необходимо сделать, чтобы избежать
путаницы. Ср. Truesdell С., Z. angew. Math. Mech. 33, 345 (1953); 34, 69
(1954).
§ 1 8] УСКОРЕНИЕ ЧАСТИЦЫ. ГОДОГРАФ 61
§ 18. Ускорение частицы. Годограф. Ускорение а точки или частицы - это
скорость изменения скорости,
a - v=r = (x,y,z). (18.1)
Разложение по векторам i и j, т. е. по единичным векторам соответственно
касательной к траектории и ее главной нормали, дает
• = <18-2)
где v - абсолютная величина скорости и q - радиус кривизны траектории.
Для криволинейных координат х° с элементом длины ds2 = gpa dxPdx0 (ср. §
17) контравариантный вектор ускорения есть*)
ар = хр + { (r) J- , (18.3)
J
где символ Кристоффеля определяется следующим образом: {д! = g" (|iv. ч
], 2 [jiv а ] =
= Т(18.4)
дх дх дх
/ (1, если р = сг\
Здесь бп - дельта-символ Кронекера б? = {,.
\ 10, если qФа)
Обычно легче вычислить вектор ковариантного ускорения
d ОТ дТ 1 ,р.0
Т=2^х- <18'5>
!) Ср. МсС о n n е 11 A. J., Applications of the Absolute Differential
Calculus, Chap. 17, London and Glasgow, Backie, 1931. Sokolnikoff I. S.,
Tensor Analisis, гл. 4, New York, Wiley, 1951; Synge J. L. and S child
A., Tensor Calculus, гл. 5, Toronto, University of Toronto Press, 1952.
62 КИНЕМАТИКА [ГЛ. II
Физическая компонента*) ускорения по направлению единичного вектора кр
есть
а (к) = аХ = в%. (18.6)
В цилиндрических координатах имеем
ds2 = dr2 + г2 dtp2 + dz2 (18-7)
и физические компоненты ускорения по координатным осям будут
id
ат = /• - гф2, аф =---------(г2ф), az = z. (18.8)
г dt
В сферических полярных координатах (г, О, ф) имеем
ds2 = dr2 + г2 dO2 + r2sin20cftp2 (18.9)
и физические компоненты ускорения по координатным линиям равны2)
ат = г - п&2 - г sin2 О • ф2,
(18.10)
^ - (г2й) - г sin О cos О • ф2, г dt
1 d , 2 ¦ 2
г sin О dt
- (r sin О - ф).
J
Кривая, уравнение которой г' = v(t), где v(t) - скорость движущейся
точки, называется годографом движения. Для движения с постоянной
скоростью годограф - одна точка; для постоянного ускорения это - прямая
линия; для движения, при котором а = кг /г3 (ускорение обратно
пропорционально квадрату расстояния) годограф - окружность3).
§ 19. Угловая скорость твердого тела. Пусть S о- твердое тело,
относительно которого движется второе твердое тело S. Для простоты
описания мы можем счи-
9 См. сноску в § 17 в связи с криволинейными координатами.
2) Эти и другие ускорения можно также вычислить с помощью движущихся
осей; ср. Уиттекер [28], стр. 32-35, где рассмотрены различные
специальные системы координат.
3) Ср. MacMillan [17], I, стр. 285.
§ 19]
УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ ТВЕРДОГО ТЕЛА
63
тать Sо неподвижным в абсолютном пространстве. Выбрав частицу Р0 тела S в
качестве полюса, можно описать бесконечно малое смещение S, задавая
смещение точки Р0 и вращение вокруг нее. Последнее есть бесконечно малый
вектор ^ вида (16.1). Мы определяем угловую скорость (о тела S следующим
уравнением:
Х = ю dt, (19.1)
где dt - бесконечно малый интервал времени, в течение которого происходит
