Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
направленным вверх.
В этом параграфе (если только не оговорено противное) все триэдры
векторов, включая и системы координат, будут правыми, как это и принято
обычно.
Положительное направление вращения вокруг оси К - это направление
вращения на 90°, в результате которого вектор / совмещается с вектором J.
Какое-нибудь вращение вокруг оси, совпадающей по направлению с -единичным
вектором U, можно описать символом [U, %], где % - угол вращения,
положительный в указанном выше смысле. Однако соответствие между
вращениями и такими представлениями многозначно.
6 101
ПАРАМЕТРЫ ЭЙЛЕРА
43
Если R обозначает вращение вокруг U, мы можем нап псать в символической
форме:
Я = [U, % + 2пя] = [-U, - X + 2/ш], (10.1)
где п - произвольное целое число.
Мы уменьшим многозначность такого соответствия, введя вектор V и скаляр q
следующим образом:
Пусть компоненты вектора V по каким-нибудь осям равны (Я, р, v). Тогда из
(10.2) следует уравнение
Легко видеть, что любая совокупность значений (Я, р, v), удовлетворяющая
условию (10.3), определяет единственное вращение, но что данному вращению
соответствуют две системы значений этих величин. Итак, мы можем написать
в символической форме:
В = {Я, р, v, q} = {-Я, - р, - v, - q}. (10.4)
Величины (Я, р, v, q) называются параметрами Эйлера1). Они удобны для
описания конфигураций твердого тела, имеющего неподвижную точку. Итак,
можно перейти от какой-нибудь данной начальной конфигурации По к конечной
конфигурации С с помощью некоторого определенного вращения Я; Я
определяется параметрами (Я, р, v, q). Будем считать (Я, р, v, q)
прямоугольными декартовыми координатами точки в четырехмерном евклидовом
пространстве. Тогда, принимая во внимание уравнение (10.3) и запись
(10.4), мы можем высказать следующие утверждения:
(I) Точка на гиперсфере (10.3) определяет конечную конфигурацию тела.
0 Мы следуем в обозначениях Мурнагану (Murnaglian
F. D., The Theorie of Group Representations, стр. 328, Baltimore,
Johns Hopkins Press, 1938). Уиттекер [28], стр. 17-20 использует
обозначения (?, т|, ?, %).
1 1
V = 77sin - q = cos х-
(10.2)
Я2 + р2 + V2 + Q2 = 1.
(10.3)
44
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
[ГЛ. 1
(II) Конечная конфигурация тела определяет пару диаметрально
противоположных точек на гиперсфере (10.3).
(III) Существует непрерывное взаимное однозначное соответствие между
конечными конфигурациями тела и прямыми линиями пространства четырех
измерений, проходящими через начало координат.
Так как (к, ц, v, q) определяют вращение вокруг неподвижной точки, то
матрицу М из § 9 можно выразить через них. Это делается следующим
образом:
Пусть Р(г) и Р'(г') (рис. 4) - начальное и конечное положения точки тела,
подвергнутого вращению (10.2). Пусть N - общее основание перпендикуляров,
опущенных из точек Р и Р' на V;
Рис. 4. Ось V и угол вращения у.
пусть, кроме того, NP=p, и пусть s - единичный вектор, такой, что (р, s.
V) образуют правый ортогональный триэдр векторов. Тогда
г' = ON + NP' = ON -\-р cos spsia %. (10.5)
Но, с другой стороны,
V X р _ V X Г
р = I- ON, s ¦
и, значит, согласно (10.2) г' = г cos X + ON (1 - cos х) +
Vp Vp
sin X (V X r)
Кроме того,
= г (e2 - V2) + 2 V2ON -I- 2e(Fxr). (10.6)
V2ON= V(V-r),
(10.7)
§11] УГЛЫ ЭЙЛЕРА 45
и, следовательно, преобразование i->г' имеет вид
г' = г (е2 - V2) + 2 V(V• г) + 2е (V X г), (10.8)
а в матричной форме г' = Mr, где
А2-р2 -у2 + е2 2(Д,р - vp) 2(vA,-fpe) \
м = I 2(Яр + ур) р2-у2-А2 + е2 2(py-Ag) 1, \ 2 (vx - pp) 2 (pv +
А,е) у2 - х2 - р2 + е2/
(10.9)
X, р, у - компоненты вектора V, так что имеют место условия
X2 + р2 + у2 = sin21 X. я2 + р2 + У2 + е2 = 1. (10.10)
Заметим, что М не изменяется, если (X, р, у, р) заменить на ( - X, -р, -
у, - е), как конечно, и должно быть.
§ И. Углы Эйлера1). Пусть вращение вокруг точки О переводит
ортонормальный триэдр (/, J, К) в (г, j, к).
Разобьем это вращение на три (рис. 5). Во-первых,
9 Здесь мы принимаем обозначения Уиттекера [28], стр. 18; они имеют то
преимущество, что Д, ф- обычные полярные углы вектора к. Другие
обозначения см. Т i е t г Н., Handbuch der Physik, 1960, т. II, стр. 135;
Аппель [2], II, гл. XX, (он меняет местами фи[);Голдстейн [7], стр. 123-
124 (он обсуждает преимущества тех или иных обозначений).
46 ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ [Гл. 1
вращение вокруг К такое, чтобы в новом положении плоскость (/, К)
содержала вектор к- Предположим, что это вращение на угол ср; оно дает
преобразование
IIl =/coscp-l-/smcp,
-/sincp + Jcoscp, (11.1) К, = К.
Во-вторых, вращение вокруг Ji такое, чтобы совместить вектор К1 с
вектором к', пусть это будет вращение на угол й; оно дает преобразование:
Г /2 = /cos6' - A'iSinD',
/2, Л) | J2 = Ju (11.2)
A = /1sin6'-l-A'1cos6'.
Наконец, вращение вокруг к такое, чтобы совместить вектор 12 с вектором
г, а вектор /2 с j; пусть это будет вращение на угол ф; это вращение дает
преобразование
(/2, ,/2, к) -> (г, j, к)
i = /2 cos ф + /2si>r ф, j = - /2 sin г|э-1-/2 cos г|э, (11.3) к -к.
