Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
конечное состояние, и это тот случай, когда получается только одна
частица. Ее 4-им-
§ 121]
НЕУПРУГОЕ И УПРУГОЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
429
пульс определяется равенством
М~; =2 Мг, (120.7)
а ее собственная масса определяется как
т'2=-М;м;. (120.8)
Если имеются две частицы в конце рассматриваемого явления и известно,
каковы их собственные массы, то имеем всего шесть уравнений, а именно,
четыре уравнения (120.3) и два уравнения типа
(120.8). Таким образом,
конечное состояние имеет две степени свободы, т. е. положение такое же,
как при столкновении двух упругих шаров в ньютоновой динамике, когда не
задано направление прямой, соединяющей центры.
Если материальные частицы, возникающие в результате катастрофы, приходят
в состояние покоя без изменения их собственных масс, и какие-либо фотоны,
получающиеся при этой катастрофе, покидают рассматриваемую область, то
остающаяся энергия будет равна полной релятивистской энергии Ътс2. Таким
образом, потеря энергии будет равна
Q = 2 hv + 2 туе2 - 2 т'с2. (120.9)
Если катастрофа представляет собой взрыв одной частицы, находящейся в
состоянии покоя и имеющей собственную массу т, то
Q = тс2 - Ит'.с2- (120.10)
Q - энергия связи взорвавшейся частицы (некоторые авторы предпочитают
обозначение -Q).
Система отсчета центра инерции это - галилеева система, которая имеет
полный 4-импульс ЛМТ для оси времени. Когда употребляют эту систему, то
правая часть уравнения (120.4) обращается в нуль. Использование этой
системы иногда упрощает вычисления, но, конечно, это не относится к
вопросу определения результатов катастрофы.
§ 121. Неупругое и упругое столкновения. При абсолютно неупругом ударе
все сталкивающиеся частицы
430 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ катастрофы [гл. IV
объединяются в одну частицу с 4-импульсом
м;= имт (121.1)
и собственной массой m , определяемой по формуле
то'2= -м;м;. (121.2)
Если число сталкивающихся частиц равно двум, то собственная масса одной
конечной частицы определяется как
т'2 = - (Мт + Мт) (Мт + Мт) = тп +т2 - 2МТМТ,
(121.3)
где т, т - собственные массы, МТ, МТ - 4-импульсы частиц.
Если, в частности, сталкивающиеся частицы являются фотонами с частотами
v, v, движущимися в направлениях, заданных единичными векторами яр, пр,
то получаем
h2w - h2vv 1
m'2 = 2 (1 - ЯрЯр) = 4-^j-sin2-^-й, (121.4)
где -& - угол между направлениями движения фотонов. Это выражение
описывает рождение одной вещественной частицы из двух фотонов. Если мы
употребляем систему отсчета центра инерции, то имеют место соотношения v
= v, •& = я, а также
тп'с2 = 2 hv, (121.5)
что очевидно, так как конечная частица может находиться в покое и иметь
энергию т'с2, а полная энергия фотонов равна 2hv.
При абсолютно неупругом ударе двух материальных частиц, движущихся со
скоростями vp, vp, уравнение
(121.3) принимает вид
т'2 = т + т2 + 2ттпуу ^1 - " (121.6)
§ 121] НЁУПРУГОЕ И УПРУГОЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
431
где
(121.7)
Легко показать, что выполняется условие
(121.8)
(равенство наступает, если vp = vp, но в этом случае не имеет места
столкновение) и отсюда
Таким образом, полная собственная масса всегда возрастает при абсолютно
неупругом ударе. Возрастание полной собственной энергии равно
если абсолютные значения скоростей сталкивающихся частиц малы по
сравнению со скоростью света с, то легко показать, что это возрастание
равно приблизительно количеству тепла, выделяющемуся при таком
столкновении согласно ньютоновой динамике (ср. § 58, 59).
Аналогично исследуется абсолютно неупругое столкновение материальной
частицы и фотона. Он представляет собой поглощение фотона материальной
частицей. Здесь также полная собственная масса возрастает; так как
собственная масса фотона равна нулю, то это означает, что получена
материальная частица с большей собственной массой, чем масса исходной
сталкивающейся материальной частицы.
Упругий удар характеризуется двумя условиями:
I) Число частиц остается неизменным.
II) Собственная масса каждой частицы остается неизменной.
Результат упругого столкновения двух материальных частиц очень легко
описать с помощью системы отсчета центра масс. Абсолютные величины
скоростей частиц не
тп' > т -f- т.
(121.9)
т'с2 - тс2 - тс2;
(121.10)
432
РЕЛЯТИВИСТСКИЕ КАТАСТРОФЫ [ГЛ. IV
начальный
изменяются и они расходятся после столкновения в противоположных
направлениях, причем эти направления не определяются законом сохранения.
На рис. 55 показана векторная диаграмма в пространстве PH. При упругом
столкновении материальной частицы и фотона (комптон-эффект, см. § 122)
частота фотона не изменяется, когда конечный применяется система отсчета
центра масс.
§ 122. Комптон-эффект. Упругое столкновение материальной частицы и фотона
называется комптон-эффек-том. Как отмечено в § 120, существует двойная
неопределенность в результате столкновения.
Для того чтобы обсудить столкновение в общей галилеевой системе отсчета,
обозначим через Мг, Mr 4-импуль-сы материальной частицы до и после
столкновения, а че-фотона. Имеют место следую-
