Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
движущейся в этом поле. Это выражение не является лоренц-инвариантным;
необходимо выбрать специальную систему отсчета.
Можно написать
Л (х, X) = тс V - ХТХТ - YYY } (114.2)
с
1
(113.7)
414 НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИНАМИЧ. ПРОБЛЕМЫ [ГЛ. II
а соответствующий обыкновенный лагранжиан L определяется формулами
L dt = Л (х, dx) = тс ds -f- V dt, L = - + V.
(114.3)
Согласно (110.13) уравнения движения принимают вид
0,
d . . . idV
ds{~ тсК) + Т^ГК
mcki - - 1 = 0,
А
ds
так что имеют место следующие уравнения:
(114.4)
d i \ dV
- (myvр) = - - dt дх,
туе
р
К,
(114.5)
где К - постоянная (постоянная энергии).
Для того чтобы обсудить движение гармонического осциллятора, рассмотрим
движение вдоль оси ад при 1
V = -^-А2а:*. Пусть частица начинает двигаться от начала
и
координат с начальной скоростью v = v0. Тогда согласно последнему
уравнению (114.5) имеем
тс
= К-V,
тс
= К. (114.6)
Частица приходит в состояние покоя в х = а (полагаем для простоты Xi -
х), где а определяется из выражения
тс = К
1 .2 2 "2 '
(114.7)
§115] ЗАРЯЖЕННАЯ ЧАСТИЦА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 415
и постоянные v0 и а связаны соотношениями
2
К = тс2 + 4- к2 а2 =
тс
Y'-i
\- к2а2 = тс2 (у0 - 1), у0 =
Согласно выражениям (114.6) получаем уравнение
(114.8)
7"/'-
7Л2С4
(Я - F)
(114.9)
и следовательно, период гармонического осциллятора т определяется
следующими формулами:
•V ' U. U (А
da: 4 Г (К - V) dx =
2 _2 "
(А' - V) - тV
1
- я
2 />| I о .2________2
2а " (1 + 2х cos ф) dip ^ 10)
сх a Kl + х2 cos2 ф
где
х2 =
к2 а2 Ате2
(114.11)
Формула (114.10) - точная; разлагая в ряд по степеням х, получаем
к V тс'
в котором первый член есть ньютонов период.
(114.12)
§ 115. Заряженная частица в электромагнитном поле. Электромагнитное поле
с электрическим вектором Ер и магнитным вектором Нр можно описать
кососимметричным
416 НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИНАМИЧ. ПРОБЛЕМЫ [ГЛ. II
тензором Frs, где
Ei = iF и, Е2 = Я 241 Е3 = iF3i, 1 ^
Hi = F23, Н2 = Г31, Я3 = Fn, j
соответствующий 4-потенциал фг таков, что выполняется условие
Prs ~ фа, г фг, si (115.2)
где запятые обозначают частные производные.
Для частицы с постоянной собственной массой тп и зарядом е, движущейся в
заданном электромагнитном поле 1), мы берем однородный лагранжиан в виде
Л (х, х) = тс V - х'Т х'т---- wTXr (115.3)
с
или, выражая его через 4-скорость, в виде
Л (х, к) = me V- КК - - фЛг- (115.4)
с
Соответствующий обыкновенный лагранжиан есть
L = ^ Ъхр + V, (115.5)
Y с
где потенциальная энергия частицы V выражается следующим образом:
V = . (115.6)
i
Уравнения движения (110.13) дают следующие уравнения:
т~- = ~2рТпК> (115.7)
as с
где член в правой части есть лоренцова пондеромоторная сила. Это
уравнение имеет форму (109.1); при этом вследствие кососимметричности
электромагнитного тензора
0 Нами используются электростатические единицы.
§ 115] ЗАРЯЖЕННАЯ ЧАСТИЦА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ -ПОЛЕ 417
удовлетворяется условие постоянства собственной массы
(109.3). Эти уравнения можно также выразить в векторной форме (ср. (40.1)
и (40.2))
Це + Т-хя),
А
dt
(туе2) - ev-E.
(115.8)
Для того чтобы получить уравнение энергии ?2 (х, у) = = 0, напишем
уравнение гамильтонова 4-вектора,
дА л,6
уТ = - -- = тек, + - фг,
ОАг с
(115.9)
и получаем, следовательно, уравнение
е
2Q (х, у)
г/г-7Фг
Ут - -J Фг ) + тп2с2 = 0,
так как = - 1.
Канонические уравнения имеют вид
dxT 8Q е
___ = _ = Ут - _ фг,
(115.10)
dyT
dw
dQ
дхт
с (с 1 ^п'г'
(115.11)
Согласно уравнению (110.20) гамильтониан выражается следующим образом (мы
разрешили уравнение (115.10) относительно ут):
Н = °- -
= V ±с Гамильтонов 3-импульс равен
с Фр j [Fp - " Фр ) + m с . (115.12)
рр = myv р + - фр.
(115.13)
27 Дж. Л. Синг
418 НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИНАМИЧ. ПРОБЛЕМЫ [ГЛ. II
Согласно уравнениям (112.3) и (115.10) уравнение Гамильтона - Якоби
таково:
dS , е \ ( dS , е \ , 2 г
¦ - Фг -I фг + т с =0. (115.14)
дхТ с / \ дхГ с /
В случае электростатического поля полагаем фр = 0, сф4 = iV; имеем тогда
1 (dS T/\ .dSdS 22 л (а а г а г\
5- V +----------------------+ m с =0. (115.15)
с \ dt } дхр дхр
Движение определяется через полный интеграл формулой (112.2).
§ 116. Релятивистская проблема Кеплера. Рассмотрим частицу с постоянной
собственной массой m и зарядом е, движущуюся в поле заряда е'
противоположного знака, помещенного в начале координат. Если е, е'
измерены
в гауссовых электростатических единицах, то поле
и 4-потенциал определяются уравнениями
Ер = iF р^ = f-jL, Fpa = О,
А 1в
фр О, ф4 -
Г
(116.1)
Уравнения движения приводят к следующим соотношениям:
где г - радиус-вектор движущегося заряда и
к = - - > 0. (116.3)
m
Отсюда следует, что движение плоское и если ввести полярные координаты
(г, #) в плоскости орбиты, то получим
§ 116]
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ПРОБЛЕМА КЕПЛЕРА
4:10
интеграл момента количества движения
уг2-& = А, (116.4)
и интеграл энергии
ус2 - А = W, (116.5)
где А и W - постоянные. Полагая q = 1/г и исключая
