Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Коэффициенты растяжения Х(и) (х) и сжатия X(s)(x), х = (хь х2) е М,
удовлетворяют условию Гёльдера с некоторым показателем р>0, т. е.
z>"C,(dist(x. у))р<^<">(х)< C,(dist(x, у))р -C,(dist(x, y))p<^<S>(x)<
C,(dist(x, у))р.
2. Простейший параллелограмм П представляет собой криволинейный
четырехугольник, ограниченный двумя отрезками Yi")(n), y<i}(П),
представляющими собой л. н. м., и двумя отрезками у^'^П), yf (П),
представляющими собой л. у. м.
Если ц-конечное разбиение М на параллелограммы Пь П2, ..., Пг, то положим
В{и) (r|)(5<s) (ц)) равным объединению всех у?>(ПД у<?,(Пу)(у?,(П2), уЩЩ)
по j= 1 г.
3. Всякий С "-диффеоморфизм Аносова двумерного тора М обладает конечным
марковским разбиением. Условие того, что т|-марковское разбиение, можно
выразить при помощи включений Г(Д<s) (г|)) с Д<s) (Гц), Г"1 (Д<и,(г|))с Д
"'1г|).
4. Пусть ц-конечное марковское разбиение на параллелограммы Пь П2 Пг,
?<в)(П,)-разбиение П^ на л. н. м.
у(и\ которые в данном гладком случае представляют собой связные
компоненты пересечений Г(и) с П,; Ци)-разбиение М, которое на каждом П2
совпадает с 4 м (П,). Если ц0 - произвольная абсолютно непрерывная мера
на М, плотность которой по мере Лебега л0 (х) удовлетворяет условию
Гёльдера, то условная мера на почти каждом С, (и) абсолютно
п
непрерывна относительно длины на Ct<io = Y<") и плотность как
ч
функция на М также удовлетворяет условию Гёльдера.
Свойство 4 следует из того, что слоение М на н. м. удовлетворяет условию
Гёльдера, и из абсолютной непрерывности у. м. и н. м.
Итак, пусть задан С "-диффеоморфизм Аносова Т двумерного тора М=Тог2.
Выберем для Т конечное марковское
191
разбиение г|. Обозначим 9И(С, р) класс мер р0, заданных на
Jt и таких, что
1) существует такая положительная функция п0 (х), что на
Ро-почти каждом СЕм условная мера абсолютно непрерывна ч
относительно меры Лебега и ее плотность равна к0; я0(х)
2)
"о (у)
-1
< С[dist(х, у)]р при некотором р>0 и для
любых х, уеСм и любого элемента СЕо<) разбиения Ц"*. л л
Вспомним теперь (см. лекцию 16), что динамика создает на каждом Г00 свою
ст-конечную меру vr("). Введем отвечающую ей плотность р0 (х), которую мы
символически запишем в виде
П A,w(r-"x)
Ро (х) = г Г'----------------------•
П А,(">(Г-"у)</ат(.)(у)
J И = 1
сЦ-'"
В знаменателе С^и)(х) = у(и) есть л. н. м., проходящее через х.
Выше объяснялось, что это выражение имеет смысл, поскольку
А,(",(7'_1,х) , ,
' (-1 <const • А при некотором А<1 для всех уеу'1.
ХМ(Т~" у)
Положим Ж (р0) = шах
1пк"(х)
. Для гиббсовской меры р,
Ро(х)
отвечающей инвариантному семейству мер vr(i<), очевидно, Ж (р) = 0.
Обратное утверждение также верно и было объяснено в лекции 17.
^f-теорема. Пусть р<Ро- Существуют такие 0 < < 1
и 0<Ci<oo, зависящие только от Т и констант С, р в определении 9И(С, р),
что при всех к>О Ж((7'*)кр0)<С18^ Доказательство. Пусть р0е9И(С, р), л0-
функция определяющая условные меры на элементах разбиения Пусть
рк=(7'*)*р0 и пк-аналогичная функция для р* Выведем сейчас явную формулу
для пк. Имеем для любой ограниченной измеримой /
def
j/(x) d\Lk (х)= J rfpk(Q(u)) I /(х)%(х)^ст7".,(х) =
М | J/"1 4 С, (¦>
=f{/(7'kx)rfpo(x)= | rfp0(Q(u)) { f(rkx)7t0(x)dorM(x).
М|?<*> 4 C.M
" к
Во внутреннем интеграле сделаем замену переменных Г х= у. Тогда
yeT~J'(CiM(x))czCi(u)(T~J'y) в силу марковости. Якоби-
192
ан этого перехода равен 4~~Ф! = П Xiu) (Т ¦'ху). Поэтому
4<тт,.,(у) До
J rfpolQu)) J f{Tk\)710(х)</сттм(х) =
М I ?<•> 11 с,"
= J</p0(C5(u)) ? J (х) dOytu) (х) х
" Сг'СсСС Ст'С
- тт" T-T • /(г*х) 710 (х) • dcjyiu) (х) =
f n0(x)rfaT".,(x) J ' w w
СТк1,Ш
= J</p0(C5(u)) X J 7C0(x)dCTT(.)(x)x
4 cr*t"<=Q? Ct'C
J *o{T *у)ПХ<")(7' iy)^Wr,*>(y)
j=0
x J /(y)^o(T~ky) П Х(")(Г_-'у)^стт,'"(у) =
ctw j-о
?(¦) J 0
•*n
J Ло(Т~ку) П X(a)(T~Jy)dGy(u)(y)
:,<¦> j=o
Последняя формула показывает, что
Мг-ЧШ^Чг-'у) я*(у)=-----------г. ~--------------• (О
J nQ(T-kz) П XM(T'Jz)d^>(z)
CjjjjO j = о
Из нее, в частности, следует, что класс мер 931 (С, р) инвариантен
относительно динамики. Кроме того, из нее нетрудно также вывести
выражение для меры на фактор-пространстве М\Ъ};\ отвечающей щ. Имеем
теперь из (1)
%(у)
4-1 00
Ро(у) f T"I 1 Гм) i'r - i-\Z) J_
j 11 Х'>(Г Jz) _ dayM(z)
c%wj=o M7 У;
193
В силу того, что Х,<и) удовлетворяет условию Гёльдера (см. свойство 1
диффеоморфизма Аносова) при некотором 5,
Из неравенств (2) - (4) вытекает утверждение теоремы.
Возникает естественный вопрос, что происходит с теми же распределениями
вероятностей, если п-"- оо? В рамках нашего подхода ответ на него весьма
прост и естествен. Мы должны заменить неустойчивые слои на устойчивые и
рассмотреть аналогичный функционал, связанный с устойчивыми слоями. При
этом условные меры на устойчивых слоях будут стремиться к пределу, в то
время как поведение их вдоль неустойчивых слоев может быть все более
нерегулярным.
Перейдем теперь к обсуждению свойств н. м. и у. м., а также марковских
разбиений для потоков. Здесь имеется одна особенность, которая иногда
