Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
трансверсальное к y<u)(x), где г = dimМ, и обозначим D'0=D'f]M0. Допустим
теперь, что каждая точка yeD имеет (г-А)-мерное л. у. м. y(s)(y), и
предположим, что для каждого zeD'0 формула
Y<s) (y)flY<u)(z)
устанавливает гомеоморфизм nz, отображающий D на открытое подмногообразие
D(z)cyiu)(z) (рис. 17.1).
Определение 4. Отображение яж: D-*D(z) называется каноническим
изоморфизмом л. н. м. (см. [4], [5], [6]).
Определение 5. Канонический изоморфизм называется абсолютно S'
непрерывным, если он переводит меру / у' сг т*> на D в меру,
эквивалентную мере / ..
сгт"> на D{z). I х
Мы сейчас увидим, какую роль играют абсолютно непрерывные ка- в
ионические изоморфизмы. Предположим, что М=М0, Т- С'3-диффс- Рис. 17.1
оморфизм М, и р-абсолютно непрерывная инвариантная относительно Т мера и
р-почти каждая точка х имеет у. м. Г(1)(х), н. м. Г(и) (х), и мы можем
построить меры vr", vr". Возьмем какую-либо точку х0, для которой
существуют y<u)(xo), Y<s)(xo), и для точки ze y(s)(x0), имеющей r(u)(z),
обозначим сейчас через Y<u)(z) подмножество r(u)(z), канонически
изоморфное у(и)(х0). Образуем множество (Jy (u)(z)=t/. Оно состоит из
пересечений
Z
Y(s)(zi)f)Y<u)(z), zt ey(u)(x0), и обладает тем свойством, что для него
существует yw(zi)> пересекающее все Y<u|(z)- Можно
181
сказать, что 41 = (J (y(s)(zi)riY<u)(z))- Поэтому 41 допускает
г!, z
разбиения E,(u), E,(s), где Е,(и) есть разбиение на y(u)(z)> a E,(s) есть
разбиение, элементами которого служат пересечения Y<s)(zi)D^- Допустим,
что р является одновременно ст(и)-абсолютно непрерывной и ст(5)-абсолютно
непрерывной. Для любого борелевского Л<= y(u)(z0) обозначим СА = = ij
nz(A) с аИ и положим Vj (A) = \i(CA). Тогда Vj (А) есть
zeYw(io) , .
мера на у(и,(х0).
Теорема 4. Мера vx абсолютно непрерывна относительно сттм(ю)-
Доказательство. Мы можем вычислить Vj(/4) следующим образом:
vi (А)= j dp(y(u)(z)) J р(у)^ат"(у).
М\ЬШ я,М)Птм(г)
Если cttm(Zo)(/4) = 0, то в силу того, что канонический изоморфизм
абсолютно непрерывен, ст (7cz(^4)Plyi")(z)) = 0. Следовательно, Vj (А) =
0, что и требовалось доказать.
Вернемся к проблемам существования и единственности инвариантных
относительно Т гиббсовских мер. Обе проблемы имеют ту же природу, что и
проблемы существования и единственности гиббсовских мер в статистической
механике. Мы рассмотрим вначале проблему существования и проведем
рассуждения при некоторых упрощающих предположениях. Распространение их
на более общий случай требует незначительных усилий при том же ходе
рассуждений.
Пусть dimy(u)(x) = fc для всех хеМ0. Допустим, что М0 можно покрыть
конечным числом открытых шаров 41 { с центрами в х;, через каждую точку
х; провести (г-&)-мерное подмногообразие yf, гомеоморфное шару, и при
этом
1) для хеМоПУ; в качестве л. н. м. можно взять у(и)(х) с^,-, 5y(u)(x) с
баИ с,
2) для любого хеМ0 можно найти такое л. н. м. у(и)(х)> что пересечение
у(и)(х)ПУ; состоит из одной точки;
3) для любой непрерывной функции /(х), равной нулю вне
I /(y)dvrc.,(l>(y)
41;, интеграл ------------------представляет собой непрерывную
I dvr,.,w(y)
Т"(х)
функцию хеу;. Здесь {vr"} есть инвариантное семейство мер, построенных в
лекции 16.
182
Теорема 5. Если выполнены условия 1) и 2), то хотя бы одна инвариантная
относительно Т мера, гиббсовская по отношению к семейству {vr<"},
существует.
Доказательство. Рассмотрим произвольное л. у. м. у1и> сГ1'1 и возьмем в
качестве начальной меры Но вероятностную меру, сосредоточенную на у(и) и
имеющую
вид --т: vr..,(¦). Тогда (7'_")*po = Pi. сосредоточена на Т'у^К vr"'U )
Поскольку Т~пуы можно представить как объединение л. н. м. у(я)(уУ')), то
Т "7м f)Yi состоит из конечного числа точек. Для каждой точки zte T~"y{-
U'if\yl такой, что
zkey<u)(zk) <= T~"yiu), положим u(z*) =---------------1------ х
' ' ' vr-.r,"(r-"yw)
x vr-.r."(Y(u,(z")). Набор чисел Д"(z*) задает дискретную меру
1 1 -
Д'° на yt. Ясно, что Дя(у;)<1- Положим Х,=- ? р", Х(0 -
Г Я=1
соответствующая мера на у-,. Выберем теперь подпоследовательность {/*}
так, чтобы
1) в слабой топологии при &-> оо;
2) при всех / меры сходятся в слабой топологии к некоторым мерам Х(0 на
yt.
По построению X инвариантна относительно Т. Покажем, что X является
гиббсовской мерой по отношению к инвариантному семейству мер vr<".
Возьмем какое-либо разбиение для которого С^(х)сум(х)с Ui при некотором
/. Для любой непрерывной функции /, сосредоточенной на множестве тех
yet/i, для которых у(ы)(у)flYs<= Uh мы можем написать
f(x)dX = lim - ?
k-co tk J=1
T-.y hi
f(x)dvT .rw(x)(vr-.rw(r sy<u))) (1)
Далее,
(vr-.rw(7'_sY<,,,))_1' J f(x)dvr,.,(x) =
T--rM
= 1 -• J f(x)dv r"(x) =
= ? ДДгт) ( J </vr,"(zJ(y)) J <*vr,.,,0(y)/(y). (2)
m y'M> (zj /"(O
183
По предположению произведение
( j rfvr<.4z)(y)J • J dvr,"w(y)f(y) = h(z)
\r"(z) / r'->(z.k)
есть непрерывная функция zey,. Поэтому на основании (2) 7 Z J /(x)JvT .r-
l(x)(vT .r,,(r(-s)y(")ri =
'к s=l Т''гм
= ^Vpt(zm)-h(zm).
