Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Этот предел обладает следующими свойствами:
1) д("о1"'-1, i-2,...)^const;
2) En(io|/-i, "'-2, ...)=1;
М-((r)*0 I ^- 1, i-a, i-s-1" i-s-2, •*•)
3)
1
<const Хо17.
H(/0|/-i, .... i-,; i-t-r, ¦••)
Доказательство. Обозначим /и = /(i01*-i, ..., "'-") =
l(C?_........
Мы имеем
116
и рассмотрим отношение
1+1 i-io) 4ct...
i. i(ск*!.
J* s^(n+
2)____________________________________________________________________/'"
'(" + 1)
J 9 ^ i-.-i, i-" *- !, i0~ ^ i- i-i* *o'
J4 /^("+ 1)____________________________________________/'"'(")
J .... i-i ^ i-,5
и по теореме о среднем значении
...
7Т Т1Я Цр^Л'ГЛЛЛТ'Л 1> ^
| Ф'(х)л=ср'(у2)/(с!":.:,
S' (¦+ 1)
с i..-,.1-,
для некоторого у2еС*"* I*..,,, Отсюда
Л.+1 _<p'(yi)_ t ф'Ы-ф'Ы К ф'Ы ф'Ы
Из at) следует | ф' (уi) - ф' (у2) I <const • (dist (у ь у2)У <const х х
Xo'rf. Отсюда сразу следуют существование предела р(/01 i-i, i-2, ¦¦¦) и
все его свойства.
Лемма 1 доказана.
Утверждение леммы чрезвычайно важно. Оно показывает, что динамика прежде
всего создает условные вероятности р(/0|/-ь i-2,
Рассмотрим теперь следующую вероятностную теорему. Обозначим через О
пространство дважды-бесконечных последовательностей со= {*,} - оо, где
1=%/<г, и допустим, что дана функция р(/0|/-1, i-г, ¦¦•) такая, что
I) Р("о|"-ь i-2, ...)3sconst;
Теорема 2. В условиях I) - III) существует одна и только одна
вероятностная мера Р, определенная на а-алгебре борелевских подмножеств
пространства 12 и инвариантная относительно сдвига S в ?}, для которой
Доказательство. Прежде всего поясним смысл условия III. Допустим, что
требуемая Р уже построена.
117
II) Indoli-i, i-2, -)=1;
III) если
i's, s>n, s>n
то Х8"<с0-
Я
P(i,\i,-i, i*~2, ...)= lim Р(/,|/,_15 ..., (!')
существует для любого набора is, is-i, is-i-> и
1э is - 2> ¦**) ^(^j| ^j-1) is-2s ¦¦¦)¦ .0 )
Рассмотрим вероятностное распределение "будущего" для различных
"прошлых", т. е.
5
Р {iS9 '"9 1-29 *"}= П p(ol^-lj U-29 '"9 *0" *~1> *¦•)'
i=i
5
Р {iS9 '"9 *0 I J - l 9 i'-29 = П Ц(*/ I h- Ь U-29 "9 i\9 *(b
i-l9 '")>
1=1
и оценим плотность одной меры относительно другой:
5
ехр {- const - const • ? 5*}^
fc=l
"'9 * О I * - 1" ** - 2" •••} ^
^Р{/" i'oh-1, /- V9
5
< ехр {const + const- ? §*}.
к= 1
Пусть теперь s-> оо. Мы видим, что отношение этих
вероятностей остается ограниченным сверху и снизу, т. е.
условные распределения, отвечающие разным прошлым, равномерно
эквивалентны между собой.
Покажем теперь, что хотя бы одно требуемое Р существует. Фиксируем
произвольную последовательность {is}-^ и для каждого s, -оо<5<оо,
рассмотрим меру Р{0), определенную на П следующим образом:
р(0)Г I (О) ; (0)1 - 1
¦* 5 (.*••" *3 - П9 "'9 *S J 19
f + s
р(°> I; ; \ _ гг nti.i;, , /(°) / <°), /< О) \
* s \*з + 1 > '"9 *s + f J - X J. Ц ^ /1 1, I 3 , I s - 1, I s -29 •")
l = s + 1
для любого г^о. Мы представляем читателю проверку того, что последнее
соотношение определяет корректно распределение вероятностей.
Пространство П компактно, и поэтому пространство всех вероятностных мер
на О. компактно в слабой топологии. Следовательно, найдется
подпоследовательность { - tj}, tj~* со при j-* оо, такая, что Р(01.=>РЮ>.
Мы утверждаем, что для Р(0)
lim Р^ ..., is-n} p(j'sMs- i> •••? is -n? •••)• (2)
n~* oo
В самом деле, рассмотрим
При фиксированном s и достаточно больших j
P-lih, i.-i, .... '.-¦) =
? П М-(*11 *1-1. *"---1. i-l-1-), (3)
;;- i-ij+i i='j+1
/*"(/,-ь /,_") =
= ? О ц(*"| *1-1, •••> *s-n, *s-n-l, •••, *V-(j+l> *-</••)•
(4)
l = tj + 1
Каждое произведение в (3) имеет один лишний множитель по сравнению с
соответствующим произведением в (4), который отличается от p(/s|4_1;
4-", ...) на величину, не превос-
ходящую 5". Устремляя сперва /-юо, а потом п-юо, получим (2).
Теперь покажем единственность Р,0). Это утверждение вытекает из следующей
леммы.
Лемма 2. Пусть Р<0) есть распределение вероятностей, удовлетворяющее
(/'), (/"). Тогда для любого е>0 _можно найти т = т(е), t = t(e) и
вероятностное распределение Р(0'т) на словах i-m, ..., im, зависящее
только от функции ц и такое, что
1) т(е) -юо при е-+0;
2) для любого условного распределения Pi0; т. е.
Р\°:•••, im) = Pl0)(i-m, •••),
индуцированного Р<0),
Var(P<0, m), Pl0;",1.-,,,
где Var есть расстояние no вариации между распределениями вероятностей.
Доказательство. Возьмем <=<(e) = ^(e) (2w(e)-|-1)-I-+ m(s), где ^г(е)-
целое число. Выпишем условную вероятность
т
Pij-m* *m-l, •••" i-t\i-t-1, ...) = П М'(^1^~1, h - 2> •*•)
з= -t
и аппроксимируем ее условной вероятностью цепи Маркова памяти 2т+1:
p(L, im-1, -, /-,|/-,-i, ...) = ч <о
= П П ...
Ь= 1 -t(e) + J(2m + l)<s"S
<-t(e) + (i+l)(2m + l)
•••, i-t(c) + (l-l)(2m + l)+l, i-t (e) + (1 - 1) (2m + 1), Ь 1,
119
Здесь "хвост" из единиц взят для простоты, можно было бы взять в этом
месте любую другую последовательность. Оценка р легко вытекает из условия
III:
4-m + 1
1р|<?(е) X 8,-
д = 2т +1
Ввиду сходимости ряда ?5*<оо для любого q = q(z) можно
