Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, У;= Тф 2"у= 7'ф *у = у, что противоречит тому, что все у,
различны. Если Т1 = 11+т и qi<qit. то мы возьмем i=ql-21 <q2. Тогда i2m =
q12m + h=k и у;=7'*у = у опять ведет к противоречию. Тем самым период у
равен q-2m.
3° п=р-2т, р нечетно и р> 1; k = q-2m, q нечетно и q>p. Снова берем v|/ =
ф <>... о ф и используем лемму 2 для получения
2"
замкнутого пути Тогда опять
k______________________________I
У
Я Раз
получаем точку у0е/ь для которой для у; = Т, 2"у0 имеем у(е/;+1, \^i<p-
1, и y,e/i для всех i, p-l^i^q. Кроме того, у, = у0, в то время как все
остальные у, различны.
Покажем, что период у0 равен q-2m. Если период у0 равен q-2m, где q> 1
есть делитель q, то тогда для i=q<q мы должны были бы иметь у;=уо> что
невозможно. Если же период у о равен fc = q-2m при т<т, то тогда к<з п, и
мы приходим к противоречию с минимальностью п.
4° п = 2тр, р нечетно, к=2' для некоторого 1^т. В этом случае мы вначале
используем 2° для получения периодической точки периода 2m + 1, а затем
используем 1° для получения периодической точки периода к. Заметим, что в
1° мы не использовали минимальности п.
Теорема Шарковского полностью доказана. Осталось доказать леммы 2 и 3.
Доказательство леммы 2. Рассмотрим траекторию ОгЬ(х) = {Г"х, 0^т<п} точки
х. Разбиением А будем называть разбиение отрезка /= [min Orb х, max Orb
х],
производимое точками ОгЬх. Ясно, что Tv( max Г"х]<
\0<т<п )
< max Г(tm)х. Поэтому существует элемент h = \а, Ь\ разбиения
0<т<л
А, для которого ф(а)>а и а-наибольшая среди точек Г"х, 0^т<п, обладающих
этим свойством. Для h мы имеем ф(а)>Ь, ф(Ь)^а и, следовательно, T9(li) =>
Д. Поэтому
106
последовательность T%h возрастающая, и тем самым TJ (/1) з У. Поскольку п
нечетно, то с одной стороны от h находится больше точек ОгЬх, чем с
другой стороны. Поэтому некоторые из них под действием Г, должны остаться
с той же стороны h, а некоторые должны перейти на другую сторону.
Следовательно, h с TVK для некоторого элемента K=IS разбиения А, причем
T%(ls)=> Is, и к^п-l. Последнее, в свою очередь, означает, что в
интер.вале h найдется подынтервал К' такой, что T%(K') = IS, концы К'
переходят в концы /" и К' нельзя уменьшить с сохранением этих свойств.
Значит, интервалы i<k, не содержат внутри себя точек
из ОгЬ(х), и, значит, Т1(к') с U для некоторого интервала на У разбиения
А, и мы получаем подграф вида
Мы можем предположить, что замкнутый путь h->/2/*-"/i является кратчайшим
(за исключением h), ведущим из h в h.
Если k<n - 1, то либо замкнутый путь /i-"/2-"...-"/*-"/i, либо замкнутый
путь h-*l2-* - -*Ik-*Ii-*h дают нам по лемме 1 неподвижную точку Г?, где
1<ш<яиш нечетно. Эта точка не может быть неподвижной точкой, и мы
приходим к противоречию с нашим предположением. Таким образом, к = п- 1.
Если к=п- 1, то каждый элемент А входит в наш подграф. При этом не
существует стрелок, ведущих из /( в /,• для j>i+ 1, поскольку мы выбрали
кратчайший путь. Кроме того, 7^+1/i отличается от T%h в точности одним
интервалом /m+i.
Покажем теперь, что элементы А идут на прямой в следующем порядке: /"-1,
/"-з, h, Ii, h, ¦¦¦, Л-4, In-2 с точностью до ориентации. Если и = 3, то
мы имеем только два интервала h, h, и здесь утверждение очевидно. Поэтому
предположим, что л>3. Вначале рассмотрим h. Тогда ф(а)>Ь, <р(Ь)<а. Оба
равенства одновременно не могут выполняться, поскольку в этом случае а
будет либо неподвижной точкой, либо периодической точкой периода 2, но
одно из них обязательно выполняется. Пусть для определенности <р(а) = Ь,
<p(b) = a2<a и (а2, a) = h- Если ф(а2) лежит слева от а2, то тогда
• • %
I;
Рис. 11.2
107
ф(/2) =i Iи и мы имеем подграф,
Рис. 11.3
из которого на основании леммы 1 вытекает существование периодической
точки периода 2. Таким образом, ф(аг) лежит справа от b и ф(/2)=/з есть
интервал, примыкающий к /i с другой стороны, чем /г-
Общий случай рассматривается по индукции. Если мы уже построили Л, Л-2,
..., /2, h, h, ..., Л + i и Л=(а*, а*-2), Л+i-= (a*-i, a*+i), а*+1=ф(а*),
а*-1 = ф(а*-г), то тогда точка a*-i, которая служит концом Л+i,
отображается в конец Л-Если же ф(а*+1) лежит справа от a* + i, то тогда
мы опять смогли бы построить периодические точки меньших периодов. Тем
самым ф(а*) лежит с той же стороны от а, что и а*, т. е. Л + 2 = Т*(Л+1)
примыкает к Л и т.д.
Общий конец Л-з и Л-i отображается на общий конец Л-2 и Л, что дает
r,(/"-i) э 7i. Тем самым имеются стрелки, идущие из 7"-i в вершины с
нечетными индексами. Лемма 2 Доказана.
Доказательство леммы 3. Мы использовали нечетность и в доказательстве
леммы 2 только один раз. А именно, из нечетности и мы вывели h с: ф(К)
для некоторого другого элемента К графа А.
Поэтому если мы обозначим через к наименьший четный период периодических
точек Г, и если и >2, то тогда либо Л-граф содержит подграф
Рис. 11.4
108
(здесь л-1 нечетно, и поэтому есть стрелки, ведущие из 1п-1 в четные
вершины), либо не существует КеА такого, что Ф(*)=>Л.
