Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
International Conference on Dynamical Systems in Mathematical Physics,
Rennes.-1975. P. 14-21.
[7] Рохлин В. А. Точные эндоморфизмы пространств Лебе-га//Изв. АН СССР.
Сер. мат.-1961,-V. 25 -Р. 499-530.
ЛЕКЦИЯ 8
ЭНТРОПИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
С МНОГОМЕРНЫМ ВРЕМЕНЕМ. СИСТЕМЫ КЛЕТОЧНЫХ
АВТОМАТОВ КАК ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Произвольный эндоморфизм Т пространства с мерой (М, J(, р) порождает
циклическую полугруппу {Г'} эндоморфизмов этого пространства. Энтропия А
(Г) может рассматриваться как характеристика всей этой полугруппы. Для
любого к>0 полугруппа {Г*} есть подполугруппа
X
73
полугруппы {Г1}. При этом формула h(TK) = kh(T) устанавливает связь между
энтропиями полугруппы и подполугруппы. В случае автоморфизмов мы имеем
циклическую группу и предыдущее соотношение связывает энтропии группы и
подгруппы. Сейчас мы обобщим эти соотношения на более широкий класс
групп. Для простоты обсудим случай группы Zd. Мы предполагаем, что дано d
коммутирующих автоморфизмов 7\, Т2, ..., Тй и вся группа состоит из
автоморфизмов вида Г"1 Г"2 ... Т^=Т(п), где n = (nlt ..., nd)eZd.
Возьмем произвольное разбиение 2,eZ и параллелепипед П = {(и)|0<И!</?!,
0^n2<R2, -, 0^n<,<Ri}. Построим разбиение 2,(П)= V 7'<п)2, и рассмотрим
энтропию //(2, (П)).
(я)еП
Лемма 1. Существует предел
h(Tlt ..., Г,; §)= lim -j-- Я(П)).
i"=l
Доказательство. Как и при d= 1, найдем вначале значение правой части, а
затем покажем, что оно действительно равно написанному пределу. Положим
й
(^-)"'= V V Т\'Т% ... Т\V Т^.
i = 1 - ао<к}<ао к{< О
Покажем, что
lim _1_Я(5(П)) = Я(5|(ГП-
Ri->co m " i=l
Проведем рассуждения при d= 2. Из свойств энтропии
я(^(п))=я( v v г;*г?и=
\ о<я:</г2 о<я2</г2 /
= ? н{т\'Тп2'Ъ,\ V V Г7'Г?2и =
0</ii</21 ' 0 0^ml<Rl /
0<rt2>^2 0<w2<rt2
= ? НЫ v v v
0<п1<Л1 ' -rtl<wl<0 - п1<т1<Л1- nt
О <я2>Л2 -rt2<w2<0
Для большинства индексов п2, п2 соответствующие энтропии сходятся к
Я(2,1(2, а вкладом остальных можно прене-
бречь. Более подробные рассуждения мы опускаем.
def
Определение 1. h{T2, ..., Td)= sup/i(r1, ..., Ту, ?).
74
Число h(T1, ..., Td) естественно рассматривать как характеристику всей
группы {Т{п), neZd}. Для произвольной подгруппы ZdczZ* конечного индекса
N=Zd:Zd возьмем ее образующие 7\, Т2, ..., Td.
Лемма 2. h(Tly Т2, ..., Td) = Nh(T1, Т2, ..., Td) и не зависит от выбора
системы образующих.
Утверждение леммы есть аналог свойства обычной энтропии h(Tk) = \k\h(T) и
доказывается тем же способом.
Лемма 3. Если h(Tly ..., Td)>0, то А(7'<п))=оо для любого автоморфизма
7'(п)= Г"1... T"d.
Доказательство опять проведем при d= 2. Предположим также, что
T=TW)=T1T2. Общий случай легко к этому сводится. Возьмем разбиение для
которого h(Tly Т2у ^)>0. Положим %-т = V Т\1,. Тогда
А(Г;^т) = Я(^т|(^т)-), где (^т)-= V Г-Ч-т= V V ТГ+1Т2% Далее,
к>0 i = 1 |/|<т
я(^т|(^т)-)= X н{т\\| V rnvft1-."
I = - m к - - m
= t Н(\\ V Т\\УТг1(\я-я)-).
I- -т fc= - m - l
Легко видеть, что при любых m V1
к = - m - l
Следовательно, последняя сумма не меньше, чем (2ю+1)Ях х(^1(%~)2)>0- Это
означает, что h(T)^(2m + l)H(t,\(t,~)2) при любом т, т. е. А(Г)=оо. Лемма
3 доказана.
Легко построить примеры действия группы Zd с А(7'1, Т2, ..., Td)>0, можно
естественно определить бернуллиевское действие группы Zd и т. п. Мы
рассмотрим сейчас весьма популярный и интересный пример другого действия
группы Zd, когда А (Г"1 Т22)< со при всех п1, п2, и поэтому
h(Tly 7'2) = 0. Предположим, что имеется последовательность автоматов,
где каждый автомат может находиться в одном из конечного числа состояний.
Обозначим пространство возможных состояний автомата через А = {а(1), а{2\
..., а<р)}. Состояние последовательности автоматов описывается
бесконечной последовательностью х = {хт}, хтеЛ, - со <т <со. Пространство
всех возможных последовательностей х обозначим М, сдвиг влево,
действующий в М, обозначим 7\.
75
Динамика всей последовательности автоматов задается функцией ф(х_г, хг),
принимающей значения в А. Если в данный момент времени последовательность
состояний автоматов описывается хеМ, то в следующий момент времени она
описывается уеМ, где у = {ум} и ут=ф(хт-г. •••> хт+г). Преобразование хн-
>у обозначим Т2. Ясно, что Т2 есть эндоморфизм пространства М, поскольку
одна последовательность у может возникнуть, вообще говоря, из разных
последовательностей х. Траектория точки х(0) = {х1?)}, т. е. 7'|х(0) =
х(,) = {хЙ)} может быть представлена как конфигурация со значениями в А,
определенная на полу решетке О, - оо<ш<оо, причем хЙ+1> = ф(х**-г, ...,
х^+г)- Ясно, что Тк и Т2 коммутируют. Допустим, что на пространстве (М,
Л) задана мера ц, инвариантная как относительно Тк, так и относительно
Т2. Тогда она будет инвариантна и относительно полугруппы эндоморфизмов
Tl'T"2.
Лемма 4. А(Г]'Г%)<<х> для любых пк, п2.
Доказательство. Утверждение очевидно для п2 = 0. Мы покажем, что h (Т2) <
оо. Общий случай оставляется в качестве упражнения.
Возьмем конечное разбиение ^к, элементы которого получаются при фиксации
