Современные проблемы эргодической теории - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
ц. Мы применили его к разбиению множества снабженного условной
мерой. Итак,
Н(^ v S-1^ v... v S""^)^const-1пи и lim -Hfcv S~1^v...
В- 00 П+ 1
v S~"?,) = 0, что и требовалось доказать.
63
Существенное отличие между бильярдами внутри многоугольников и групповыми
автоморфизмами двумерного тора состоит в поведении близких траекторий. В
первом случае траектории, выходящие из двух близких точек, расходятся
только линейно по времени, как во втором случае аналогичные траектории
расходятся экспоненциально. Сейчас мы докажем теорему, которая обобщает
утверждение теоремы бив действительности применима (с некоторыми
модификациями) ко многим гладким динамическим системам с положительной
энтропией. Сначала введем некоторые определения и сформулируем наши
предположения.
Пусть фазовое пространство М является С00-гладким л-мерным римановым
многообразием и Т есть С "-гладкий диффеоморфизм многообразия М,
сохраняющий гладкую меру р.
Определение 4. Локальным неустойчивым многообразием (л. н. м.) точки х 6
М называется открытое С 2-многооб-разие у(и>(х), гомеоморфное единичному
шару и такое, что для любого уеу<и)(х)
lim dist(7"'y, T"x) = 0. (5)
п-*-х
Множество Г<и)(х), состоящее из точек у, для которых выполнено (5),
называется глобальным неустойчивым многообразием (г.н.м.). Как правило,
его можно представить в виде
Г(">(х)= U Т''у(и) (Т~пх).
п> О
Если л -> оо в (5), то мы получаем определения локального устойчивого
многообразия (л.у. м.) и глобального устойчивого многообразия (г.у. м.).
Эти понятия будут существенно использоваться в части V. Сейчас мы
рассмотрим случай, когда почти все хеМ (по инвариантной мере р) имеют л.
н. м. уЫ) (х). Предположим, что мы построили измеримое разбиение ?,, для
которого С4(х) для почти каждого х является открытым подмногообразием,
Q(x) с: у<и)(х). Введем обозначение Д. (Q) = = {x|distYd.)(l)(x, <5Q (х))
^ г}. Здесь distp.,w есть расстояние, вычисленное с помощью римановой
метрики, индуцированной на Y<u)(x) римановой метрикой на М.
Теорема 8. Если для некоторых положительных констант С, а, р < 1
a) diamY<.) (х) (Q (х)) ^ С;
в) p(.Br(Q) | Сг" для всех г> 0;
с) distp.)(T-x)(7'',x, 7'лу)^Ср_'1 -distp.>(x)(x, у) для всех уе е Q(x),
л<0 и для почти всех х, то существует измеримое разбиение t, со
следующими свойствами:
64
1) г-Ч>С;
2) v Г"С=е;
л
3) Я(Г~ЧЮ>0;
4) лД={Г'"'}=у,
где {Г<")} = у есть измеримая оболочка разбиения многообразия М на
Г<и)(х). Иными словами, у есть такое измеримое
разбиение, что ^(у) = ^({Г<")}).
Свойства 1) и 3) эквивалентны. В следующей лекции мы
обсудим некоторые тонкости, связанные со свойством 3).
Доказательство. Пусть ?= v 7'л? = ? + . Это означа-
л>0
ет, что Сс(х)= П Мы покажем, что для почти
л"0
всех х существует яо(х)^0 такое, что
Сс(х)= п Г-С4(Г-х). (6)
0<л<л"(х)
Введем множество ?>;,= {х|7'~лС4(х)фС4(7'~лх)}, л = 0, 1, 2, 3, ... Мы
утверждаем, что ?>;ic:Ai = {x|distT<.>(r"I)(7'~,,x, дС^(Г ~л х)Х С2 рл}.
Действительно, если \eD'", то Т~"Q(x) пересекается по крайней мере с
двумя различными Q. Но это возможно, только если distCt(r-x) (7^л х,
5Q(7'"x))^C2p вследствие а) и с), и из в) р(.0;1Хр(.0)1)<С2',+ 1рл(r). Ряд
?р(?>') является сходящимся. Из леммы Бореля-Кантелли следует, что для
почти всех х можно найти п0 (х)>0 такое, что ГQ(x)с;Q(Гх) для всех
п>п0(х), что эквивалентно (6). Это показывает, что нетривиально, т. е.
Свойство 1) следует прямо из приведенной конструкции.
Свойство 2) следует из включений и неравенств
СГЧ (х) = Т" Сс (Г~л х) <= Тп С4 (Г~л х),
б1атт<.>(1)(7'лС4(7'~лх)ХС2рл -" 0 при п-* - оо.
Таким образом, П Сг+"С(х) = х.
л<0
Свойство 4 вытекает из того, что Г<и) (x) = lj
Л
Заметим, что в силу неравенства множества
ГлСс(Г-лх) возрастают, т. е. Гл + 1Сс(Г"л"1х)>ГлСс(Г-лх). Теорема 8
доказана.
Теорема 8 не дает сразу неравенства h(T)>0. Доказательство этого
нуждается в следующих дополнительных аргумен-
3 Я. г. Синай 65
тах. Теория измеримых разбиений утверждает существование конечных
разбиений т|<?, для которых #(t||Q>0. Тогда т|+ = 7т| v T2r\ v... v Тпт\
v Следовательно, h(T~1,r\) =
= .//(т||т|+)^#(т|Ю>0. Но по теореме 1 h(T, t]) = h(T~1, tj), чго и
требовалось доказать.
Теорема 8 легко переносится на случай потоков.
ССЫЛКИ И КОММЕНТАРИИ
1° Определение энтропии появилось впервые в несколько ином виде в работе:
[1] ХолмогоровА. Н. Новый метрический инвариант транзитивных
автоморфизмов и потоков пространств Лебега//ДАН СССР -1958,-Т. 119, № 5-
С. 861-864.
Наиболее употребительные названия-метрическая энтропия, энтропия
Колмогорова, А-энтропия и т. п.
Приведенное в этой лекции определение энтропии близко к определению,
данному в работе
[2] Синай Л. Г. О понятии энтропии динамической системы// ДАН СССР,-1959-
Т. 124, № 4-С. 768-771.
В этой же работе появилась теорема 3. Заметим, что частный случай этой
теоремы приводил А. Н. Колмогоров в своих лекциях (не опубликовано). В
упомянутой работе А. Н. Колмогорова приведена также теорема 2.
