Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
равенства мы
использовали равенство (6.69) или (6.99) в зависимости от того, имеем
§ 8. Представление операторов
143
ли мы дело с симметричными или антисимметричными функциями. Поскольку у
вектора ф(х„) ... (xi.) tотлична от нуля лишь проекция
на состояние без частиц, то суммирование можно распространить на полные
наборы состояний в МЛ1\ Ш™, ..., и т. д. и переписать (6.НИ) следующим
образом:
(п[, п'^ ... \F\nv га2, ...) =-^- ^ dxx . . . ^ dxn X
X (га', га;, . . . | ф* (х„) . .. ф* (хх) F (га; Xj, . . . х„) ф (Xl) . .
. ф (х„) | га15 ге2, . ..).
\ (6.102)
Рассмотрим теперь случай, когда F является суммой о дно частичных
операторов, т. е.
П
F(xj, х2, х8, ... хп; га) = 2 /(xi)- (6.103)
г=1
Подставляя это выражение в правую часть (6.102), получаем (га;, re;
...\F\nx,n2, ... >=-^у § dxt ... ^ dxn X
П
X (га;, га; ... I ф* (х„) . . . ф* (хх) S f (х4) ф (х^ .. . ф (х„) | гах,
га2, ...) .
г=1
(6.104)
Член
\dx1 ... \ dxn (га;, га; . . ,|ф* (х„) . .. ф* (х^ / (х„) ф (хх).. .
ф(х„) |гах, га2, ...),
(6.105)
можно упростить, так как ^ dxx дает оператор числа частиц N, который при
действии на состояние справа от него
ф(х2) ... ф(х„)|га1га2 ... щ .. .)
дает это же состояние, поскольку последнее является одночастичным.
Аналогично, ^ dx2 дает множитель 2, так как соответствующий оператор
числа частиц действует уже на двухчастичное состояние. Поэтому,
интегрируя по переменным х15 х2, ... х,,^, окончательно получаем
dxn (га — 1)! (гахга2 ... | ф* (х„) / (х„) ф (х„) [п[ п2
Каждый член в сумме может быть приведен к такому виду, если использовать
перестановочные соотношения, чтобы операторы ф(хг) и ф*(х,), которые
необходимо интегрировать вместе с /(хг), были расположены соответственно
справа и слева от других операторов. Следовательно,
(га;, га; . .. ] F | rat, га2 . . .) =
П
= ЧГ 2 • • • | 5 dXi^* ^ У I ПхЩ =
г=1
= (га4га2 .. . | ^ йхф* (х) / (х) ф (х) гахга2 ...), (6.106)
144 Гл. 6. Вторичное квантование. Нерелятивистская теория
так что если оператор F в конфигурационном пространстве п частиц задан
равенством (6.103), то в пространстве Фока он имеет вид
Обратим внимание на порядок операторов в этом выражении: ф* (х') ф* (х) ф
(х) ф (х'); такой порядок подразумевает, что в разложении (6.108) нет
членов вида V (х;, хг) (т. е. нет действия частицы самой на себя). Кроме
того, такой порядок обеспечивает эрмитовость оператора F в пространстве
Фока.
Таким образом, гамильтониан в пространстве Фока, соответствующий в
подпространстве п частиц гамильтониану обычной шредингеров-ской теории,
описывающему систему п частиц с парным двухчастичным взаимодействием,
дается выражением
Поскольку явная проверка этого утверждения проясняет смысл формализма в
пространстве Фока, проведем доказательство для члена Н0 в случае
фермионов, т. е. когда фиф* удовлетворяют соотношениям антикоммутации.
Вычислим результат действия Н0 на произвольное состояние | Ф1), которое в
пространстве Фока имеет вид
F= ^ йхф*(х)/(х)ф(х).
(6.107)
Аналогично, если /’ — двухчастичный оператор вида
то легко получить
X ф* (xj) ф* (xj) V (Xj, xj) ф (xj) ф (хг) щ, щ .. .) =
= <ге', ... у ^ dx' ^ dx ф* (х') ф* (х) V (х, х') ф (х) ф (х') щ, п2
...) ,
(6.109а)
так что
F = \ ^ dx' ^ dxф* (х')ф* (х) V (х, х') ф (х) ф (х'). (6.1096)
dxф* (x)V 2ф(х) -)-у ^ dx ^ dx^* (х') ф* (х) V (х, х') ф (х) ф (х')
(6.110)
$ 8. Представление операторов
145
Используя равенства (6.97) и (6.98), находим
^<0)
^ dxij;*(x) V2^(x)
Y.'1’ (х,) ?(2)(xi, х2)
Г™ (xt . . . х„)
h*-Ьп
^ хчр* (х)
у 1 Т2У(1) (х)
Y2VIW12' (х, Xl) ]/3V|Y(s)(x, х1; х,)
j у nVlWim(x, X! . . . X„_j)
Г о
-Ar^dxfi(x-x1)VjT(1,(x)
- ^ dx {6 (х - xf). V;4/<2) (х, х2) -
— 6 (х — х2) V2^12’ (х, Xl)}
~ А* ^ dx {6 (х-хО V|V<"> (х, х ... xR)
— 6 (х — х2) V?4f(m (х, Xl, х3, ... X.,)
± . .. -г ( —l)'1-1^ (х —х(1) У2Г'"(х, х15 ... Xn-J}
- ^ (Xl. *2) - П2У‘2>.(х2, х,)}
1Г-
{V?14'<n,(x1,x2> ??? хп)-У1Д‘">(х2, х„ х„ .. . х„)
± 1)'*-1V2.„?W> (Х„, хь . . . Хп-!)}
S
10 С. Швебер
(6.112а)
(6.1126)
(6.112в)
146________Гл. 6. Вторичное квантование. Нерелятивистская
теория
1=1
(6.112г)
2т
i=J
При переходе от (6.112в) к (6.112г) мы использовали антисимметрию функ
ции Ф(х1,х2, .. . xn), например Ф<п)(х„, х4, ... х„_,) — ( —1)П~ПР(П>(х,,
... хп). Аналогичным образом можно проверить, что в подпространстве п
частиц уравнение Н | Ф (f)) = ihdt \ Ф (t)) принимает вид
П
{~ Vl? + 2 V (x*’ xi)}4r(n>(xi> x2, • ? • Xn', t) = ihdtWm (x,, ...
x„; t).
i=l i<j
(6.113)
В каждом подпространстве получается уравнение Шредингера для
соответствующего числа частиц. Таким образом, шредингеровскую теорию для
и-частиц можно характеризовать как такое решение уравнения
Я|Ф) = «А5(|Ф), (6.114)
для которого | Ф) является собственным вектором оператора числа частиц N
с собственным значением п:
А | Ф) = п | Ф>. (6.115)
Поскольку гамильтониан (6.110) и оператор А коммутируют, то такой вектор
можно найти. Другими словами, в рассматриваемой теории число частиц
