Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
число). Таким образом, либо оператор Nt имеет отрицательные собственные
значения (поскольку vt — m может быть сделано отрицательным при
достаточно больших т), либо при некотором т вектор (a;)m | v,-) должен
быть нулевым вектором. Однако оператор Nt неотрицателен (>0), так как он
равен произведению некоторого оператора на эрмитово сопряженный к нему,
так что собственные значения оператора Лгг не могут быть отрицательными.
Действительно, для произвольного ненулевого вектора (Ф), для которого (Ф,
Ф) > 0, имеем
(Ф, .<УгФ) = (Ф, а*агФ) = (агФ, агФ) = || агФ ||2> 0 (6.61)
по определению скалярного произведения в гильбертовом пространстве. Знак
равенства в соотношении (6.61) имеет место только для таких состояний
|Фо), для которых аг|Фо) = 0. Ясно, что собственное значение оператора
Ni, соответствующее такому состоянию, равно нулю. Следовательно,
собственные значения Nt либо целые положительные числа, либо нуль.
Состояние ) Фо) — ] 0), для которого Агг|0) = 0 для всех i, называется
состоянием без частиц. Оно определяется равенством
а;|0) = 0 для всех i. (6.62)
Далее введем операторы
СО
ф(х)=2 (х I ^(i>) Я; (6.63)
i= 1
И
оо
ф* (х) = 2 (>u(l>! х) а*. (6.64)
г=1 ?;
Они обладают тем свойством, что уже- не зависят от базиса (х|Х<г>),
который был выбран для одночастичных состояний. Перестановочные
соотношения для этих операторов имеют вид
СО
[ф(х), ф*(у)] = 2 (х | СКа> | у) [аи а*] =
г, j
со
= 2(x|^i))(^i)|y> = (x|y> =
г
= 6(х —у) (6.-65)
и
[ф(х), ф (у)] = [ф* (х), ф*(у)] = 0. (6.66)
С помощью введенных операторов можно записать оператор полного числа
частиц
Л'= 2] а?а;= 2 \ ^х(х |А,Н>) а*аг = ^ <2хф*(х)ф (х). (6.67)'
г ij
136
Гл. 6. Вторичное квантование. Нерелятивистская теория
Оператор ф* (х) ф (х) можно интерпретировать как оператор плотности числа
частиц. Заметим далее, что равенство (6.38). можно переписать следующим
образом:
(хь х2, х3, ... х„; п | щ, га2, ... щ ...) =
оо
= 24-<*i|Vl)> (Х2, х3, . . х„; п— 11 ог| пи п2, ... щ . . .) =
? Vn
= -7=-(х2х3 ... х„; п— 11 -ф (xt) I rat, п2, ... nt .. .) (6.68)
У п
и по индукции
<Xi, Х2, ... Хп, 71 | Л-21 • • * ) ==
= -4==- (01ф (х„) ... ф (х2) ф (Xi) | щ, п2, ... щ ...). (6.69)
У п\
Из равенства (6.69) следует
5|хь х2, ... х„) =—Ц-\)з*(х1)г|;*(х2) ... ф*(х„)|0). (6.70)
У п\
Нужно отметить, что поскольку операторы рождения ф* (хг) коммутируют друг
с другом, то состояние в правой части (6.70) симметрично.
Рассмотрим кратко физическую интерпретацию операторов ф(х) и ф*(х). Ясно,
что состояние ф*(х)|0) является одночастичным, так как оно является
собственной функцией N с собственным значением 1. Доказательство:
[7V, ф* (х)] = ^ dx' {ф* (х') ф (х') ф* (х) — ф* (х) ф* (х') ф
(х')} =
= ^ йх'ф* (х') б (х' — х) =
= ф*(х), (6.71)
так что
Л^ф* (х) 10) = [7V, ф* (х)] 10) = 1ф* (х) 10), (6.72)
поскольку iV|0) = 0. Аналогично, можно проверить, что ф* (xt) ф* (х2) |
0) есть двухчастичное состояние, и т. д. Амплитуда вероятности найти
частицу в состоянии ф*(х)|0) в точке х4 есть
<xi IФ* (х) 10) = у=- (01 ф (xt) ф* (х) | 0) =
= б(х —х!)(0|0) = б(х —х4). (6.73)
При получении последнего равенства были использованы равенства (6.70) и
(6.65) и было предположено, что состояние без частиц
нормируемо:
(010) = 1. Таким образом, оператор ф*(х) рождает частицу, локализо-
ванную в точке х. Аналогично, ф(х) уничтожает частицу, локализованную в
точке 'х. Вычислим норму вектора ф* (х) 10). Квадрат ее равен
<0|ф(х)ф*(х)|0) = 6(0), (6.74)
так что состояние ф* (х) 10) ненормируемо и поэтому не является
вектором в гильбертовом пространстве. Но этого следовало
ожидать, поскольку
ф* (х) 10) есть собственная функция оператора положения и, следова-
§ 6. Пространство Фока
137
тельно, ненормируема. Физическое одночастичное состояние соответствует
волновому пакету ] 4Г) = ^ dx f (х) ф* (х) ] 0), где / (х) — функция
с интегрируемым квадратом. Можно проверить, что такое состояние
действительно нормируемо и квадрат его нормы равен
|| W ||2 = (?, ?) = ^ dx ^ dx'/(x) f (хО (01 ф (х) ф* (хО | 0> =
= ^ dx | / (х) |2 < оо. (6.75)
§ 6. Пространство Фока
Теперь мы получим представление операторов ф(х) и ф*(х) в
конфигурационном пространстве. Сначала рассмотрим оператор уничтожения
ф(х). Мы хотим получить явную формулу для матричного элемента (х1; х2,
... х„ | ф (х) | Т), где | 40 — произвольный вектор в пространстве &€т ©
е4? ш © ? ? • Для этого напишем
<хь х2, ... хп_4; и — 1 |ф(х)|4г> =
СО
= 2 2 <х|Я,(1>) <хь ... х„_4;и —11а;|я(, га' ... п\. ..){п[, п'г, . . . щ
. . •|4Г) =
4=0 {п'} со
= 2 2 (х I ^С1>> Vn'i <xi> х2, ... x„_i; и — 11 га' я' .. . щ — 1 . . .)
х
i=0{n'}
X <я(, п2, . .. щ ... | 4Г>. (6.76)
При получении правой части этого равенства мы использовали равенство
(6.47) и полноту базисных векторов | я', п2, ... п[...). Хотя в условии
полноты подразумевается суммирование по всем последова-
СО
тельностям {п[, я', ...) при 21 Я{ = л' = 0, 1, 2, ..., матричный элемент
