Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
средних по вакууму из этого закона вытекают следствия
гАВ (х; х') = гАВ (х — х') (18.73а)
г.4В(?) = гав(Л|). (18.736)
При помощи интегрального представления (18.70) находим для гАВ следующее
представление:
гАВ (I) = — \ dipe~ipoloeip't qab (р2) е (р) \ dxe~ix^—пдг =
J 6->0 J Т-(-гО
— ОО
+°о . „
= —{dipe~ip'i lim--1- f dx ——((A) —т)2 —P2) e(j°o — т) =
J 5->0+ J T-|-IO
—oo
= С d*pe~ip'%\im rAB (p2, p0, 6), (18.74)
J 6->0+
698
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
где
+ОТ qab((Po—г)2-Р2)
-АВ
/2 ЛХ 1 (* т Q^iiPO-V* — Р") , ч
(Р2, Ро, в)=-аГ i ЙТ“ 7+ifi 8(ро-Т) =
— СО
= -^Тле^?е(г) =
2я J р0 — т-ргб ' '
— СО
= -15- ) — ,+и+.а ] =
О
_ 4- ( л* (т*-р-) -
О
= 1йг 5 dT2eAB(t2) • (18-75)
о
Выражение (18.75) показывает, что фурье-образ гАВ (р2) среднего по
вакууму от Я (А (х) В (х'))
(Чг0|Д(Л(*')5(а:'))|Чго)= ^&Р7АВ (р2) (18.76)
является граничным значением аналитической функции
г А В
которая регулярна в плоскости z с разрезом вдоль действительной
положительной полуоси от z = 0 до z= + оо.
Аналогичные вычисления с хронологически упорядоченным произведением Т {А
(х) В (х')) приводят к выводу, что среднее по вакууму от Т (А (х) В (х’))
допускает представление
Г АВ
{х-х') = {Чо\Т{А{х)В{х’))\^о) =
со
= lim \ d*pe-iP-6_L \^L(18.78)
6->о+ J 2я .) \a. — p2 — i& '
и, следовательно, фурье-образ среднего по вакууму от хронологически
упорядоченного произведения является другим граничным значением той же
самой аналитической функции гАВ (z). Как уже было отмечено в гл. 17,
предположение о том, что WAB (?) не слишком сингулярна при ? = 0,
эквивалентно предположению, согласно которому поведение qaB (а) на
бесконечности таково, что интеграл) по а, входящий в определение функции
rAB (z) (18.77), сходится. В перенормируемой теории поля предполагают,
что если не сходится интеграл (18.77), то либо сходится интеграл
АВ ,
Z“(z)-*»<0 (18.79)
о
§ 1. Формулировка Уайтмана
699
либо, в общем случае, сходится интеграл, представляющий rAB (z) после
дальнейших вычитаний [которые добавляют в знаменатель (18.79) новые
степени а]. Точное число вычитаний зависит от числа контрчленов, входящих
в теорию.
В последние годы проводилось интенсивное исследование общих аналитических
свойств трехточечного среднего ио вакууму (которое связано с вершинными
операторами) и общего случая аналитических свойств /г-точечных средних по
вакууму, связанных с амплитудами процессов (см., в частности, работы
Челлена и Уайтмана [417], Чсл-лена и Вильгельмсона [418], Стритера
[743]). Челлен и Уайтман [417] предприняли детальное изучение
аналитических свойств трехточечной функции Уайтмана:
< У о | A (xt) В (хг) С (х3) | ?0) = WABC (хи х2, х3) = WABC (xt — х2, х2
— х3) =
= ^ e-iei (xi-*2)-ip2.(*2-.T3)WABC (pi, p2)dipldip2. (18.80)
Фурье-образ WA11C (ри p2) отличен от нуля только тогда, когда оба вектора
р{ и р2 лежат внутри светового конуса будущего. Как было отмечено ранее,
из этого факта следует, что функция WABC (xt — х2, х2 — х3) есть
граничное значение аналитической функции двух комплексных векторов t,i =
Xi — х2 — гтц = — гтц и t,2 = х2 — х3 — щ2 = %2 — ^2> где век-
торы rjj и г)2 независимо принимают значения внутри светового конуса
будущего. Теорема Холла и Уайтмана для этого случая гласит, что
аналитическая функция WABC (t,i, ?2) зависит только от трех лоренц-
инвариантных переменных:
z, = (Xi — хг— ir\i)2 = (|t — irii)2 = l\, (18.81a)
z2 = (x2 — x3 — Щ2)2 = (I2 — Щ2)2 = II, (18.816)
2з = {xi — ^3 — i (% + ф))2 = (?i + Сг)2- (18.81b)
Когда векторы и ?2 пробегают свои трубы будущего, каждая переменная zu z2
и z3 изменяется на открытом множестве комплексной плоскости zu а в целом
пространстве (zl5 z2, z3) заполняется некоторая открытая область ШАБС.
Поскольку переменные z, не независимы, то определение области ШАВС—
довольно трудная задача, требующая искусства для своего решения. Челлен и
Уайтман показали, что граница области Ш^БС состоит из четырех кусков, так
называемых «аналитических гиперповерхностей»1). Далее они показали, что
как следствие локальной коммутативности область аналитичности функции
WABC может быть расширена дальше. Это видно из следующего. Выше было
указано, что функция WABC (|i, ?2) ссть граничное значение аналитической
функции WABC (zu z2, z3) от переменных z4, z2, z3, определенных формулами
(18.81a) — (18.81в). Аналогичные соображения показывают, что функция
Wbab(x2, Xl, z3) = (1Fo|i?fe)A(T1)(7(z3)|1F0) (18.82)
есть граничное значение функции WBAC (z{, z3, z2), аналитической
в области ШВАС. Область в действительности может быть полу-
г) «Аналитической гиперповерхностью» Челлен и Уайтман назвали
поверхность, определяемую уравнением вида F (z^, г) = 0, где F—
аналитическая функция комплексных переменных z*, зависящая также от
одного действительного параметра г.
700
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
чена из области ШАВС путем перестановки в (18.81) переменных z2 и z3.
Далее, если поля А и В локальны по отношению друг к другу, т. е. если
