Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
(18.14), (18.18) и (18.25), то тогда можно восстановить теорию поля,
имеющую в качестве средних по вакууму эти обобщенные функции. Поэтому
можно ограничиться изучением только средних по вакууму. Преимущество
такого подхода состоит в том, что функции Уайтмана W<m есть цорректно
определенные математические величины и, кроме того, с-числа.
Заметим далее, что соотношение (18.13), вместе с соотношением
(18.19), определяющим фурье-образ W(n) (pir ... р„-4) функции Win\
показывает, что из инвариантности относительно преобразований Лоренца
вытекают следующие свойства Win):
(Ри ? ? • Pn-i) = (Ари .. . Apn-J, (18.26а)
если Л не содержит обращения времени, и
W™(pu ... р„_1) = ^)(-Лр1, ... -Ар~), (18.266)
если Л содержит обращение времени. Соотношения (18.26а) и (18.22)
позволяют утверждать, что функция Wm (?) имеет однозначное аналитическое
продолжение на область, которая называется расширенной трубой (см. статью
Холла и Уайтмана [355]). Расширенная труба Т„ состоит из всех точек вида
A?i, ... Л?п_15 где Л — произвольное комплексное собственное
преобразование Лоренца1), а векторы ... лежат в трубе будущего. Кроме
того, эта аналитически продолженная функция при значениях ... из
расширенной трубы удовлетворяет
!) Группа комплексных собственных преобразований Лоренца Ь+ (С) есть
совокупность всех комплексных матриц Л (т. е матриц, элементы которых
суть комплексные числа), удовлетворяющих соотношениям ATgA = g и det Л =
—1, где (?)|iv = ?nv — метрический тензор.
Попутно укажем также, как осуществляется это расширение области
аналитичности. Из соотношений (18.26а) и (18.22) следует, что
... Cn-1) = W«>(AEi, АЕп-0 (18.26в)
для векторов (г = 1, 2, ..., п—1), лежащих в трубе будущего, и
действительных
преобразований Лоренца Л. Вместе с тем функция W(n> (?i, ... 4)
аналитична
в трубе будущего. Поэтому для векторов Л?4, ... A?n-ii лежащих вне трубы
будущего, соотношение (18.26в) определяет аналитическое продолжение
функции W<n>. Затем используется то обстоятельство, что в окрестности
любой точки группового многообразия группы Лоренца можно ввести 6
действительных аналитических параметров и что, следовательно, группа
Лоренца есть группа Ли. Матричные элементы Л аналитичны по этим
параметрам. В частности, в окрестности N тождественного преобразования
группы А+ можно ввести 6 таких параметров ... кв, что элементы матрицы Л
в этой окрестности будут представимы степенными рядами по Xlt ... Хв.
Так как аналитическая функция Win) от аналитических
функций Л?г
(? = 1, 2, ..., п — 1) снова является аналитической функцией, то в
окрестности
единицы функция W(n> (Л^, ... At,n—i) будет аналитической функцией от Л.
Когда область изменения параметров ... ка расширяется на комплексные
значения, функция Win) (Л?4, ... Л^„_4) от Л остается постоянной и равной
W(n,(t и ... Zn-i), поскольку функция W™ (Л^, ... Л?,,-!) — Ww (?lt равна
нулю в действительном окружении единицы N d L+ и должна оставаться равной
нулю при аналитическом продолжении, пока обе функции будут аналитич-ными.
Далее можно показать, что в действительности существует однозначное
аналитическое продолжение до любого элемента Л комплексной группы Лоренца
(см. работу Холла и Уайтмана [355]).
688
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
соотношению
И™ (?„ . . . L-.) = W™ (Л?4, . .. ЛСп-t) (18.27)
при всех действительных и комплексных Л с detA= +1, т. е. она инвариантна
относительно преобразований комплексной собственной группы Лоренца L+(C).
Труба будущего, т. е. совокупность векторов ?г(? = 1, ... п— 1) с — со <
h< + -со, г)го > 0, г)| > 0, ио определению, не содержит действительных
точек. Однако расширенная труба, т. е. совокупность точек Л?г [где Л —
элементы комплексной группы Лоренца L+ (С), а лежат в трубе будущего],
уже содержит действительные точки. Действительные точки расширенной трубы
были найдены Постом [404] и характеризуются следующей теоремой:
Теорема. Действительные точки q4, ... Qn-{ лежат в расширенной трубе
тогда и только тогда, когда выпуклая оболочка Qj, ... содержит только
пространственно-подобные векторы.
Под выпуклой оболочкой точек (qj, . . . Qn~i) понимается совокупность
всех векторов вида ^iQi + • • •+^n-i6n-i> когда kt принимают все
П— 1
действительные значения, совместимые с условиями 1;>0 и 2 ^г = 1-
1—1
Таким образом, действительные точки расширенной трубы это как раз те
точки, для которых любая выпуклая линейная комбинация
П— 1 П—1
2 (^г> 0, 2 ^i = l) всегда пространственно-подобна. Легко дока-
1=1 1=1
зать необходимость этого утверждения.
Доказательство-. Поскольку совокупность точек (q15 . . . Qn_j) лежит в
расширенной трубе, то существуют комплексное преобразование Лоренца Л и
совокупность точек (?j = gi — гг)17 l2 = h — Щ2, ••• ?„-i == = In-i —
гПгг-i) трубы будущего, такие, что Л^г = рг. Далее, при действительных
ki, совместимых с условиями 0, 2^г = 1> имеем
г
(2 ^iQif = (2 hAZi)2 = (2 Ui)2 =
гг г
=-(2^Si)2Z(2Mi)2-2*(2^)-(2W- (18.28)
