Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
2. В псевдоскалярной мезодинамике перенормировкой масс и константы связи
устраняются все расходимости, за исключением расходимости четырехугольной
диаграммы, которая вынуждает ввести в лагранжиан член Аф4.
3. В скалярной мезодинамике и треугольная, и четырехугольная диаграммы
приводят к расходимостям, которые не могут быть устранены перенормировкой
масс и константы связи. Это вынуждает ввести в лагранжиан контрчлены аф3
и бф4. (Подчеркнем, что константа а не безразмерна.)
Из этой сводки следует, что с точки зрения теории поля псевдоскалярная
мезодинамика несколько проще скалярной. Однако между обеими имеется
глубокое внутреннее различие, поскольку для придания смысла скалярной
мезодинамике нужно ввести новую размерную константу.
Теперь перейдем к обсуждению примитивно расходящихся диаграмм в случае
взаимодействия двух бозонных полей и, в частности, в слу-
§ 1. Примитивно расходящиеся диаграммы
.J63
4
чае взаимодействия заряженных бозонов со спином 0 (т. е. заряженных
мезонов) с электромагнитным полем (с фотонами), т. е. в скалярной
электродинамике. Пусть через С обозначается число вершин, через Р — число
бозонных линий, а через Q —число фотонных линий, причем, как и прежде,
числа, отмеченные индексами i и е, будут относиться соответственно к
внутренним и внешним линиям. Выражение для размерности D будет получено
аналогично тому, как это было сделано выше.
На первом этапе вывода ограничим взаимодействие одним только членом :
(ф*дцф — с?р,ф*-ф) : А^(х). Это означает, что допускаются лишь вершины,
изображенные на фиг. 99, а, а вершины, изображенные
па фиг. 99,6, запрещены. При таком ограничении подсчет степеней импульсов
в подынтегральном выражении проводится следующим образом:
1. Каждой внутренней линии соответствует множитель <Рр в числителе. Это
дает вклад в D, равный -j-4 (Pt -j-Qi).
2. Каждой вершине соответствует 6(Э-функция, что эквивалентно четвертой
степени в знаменателе. Одна из 6(Э-функций выражает закон сохранения
полного импульса. Поэтому вклад вершин в D равен —4(С — 1). Кроме того, в
каждой вершине стоит оператор взаимодействия. Поскольку мы пока
ограничились лишь взаимодействием (р -|- р')М^, то дополнительный вклад
всех вершин в D будет равен -|- С.
3. Каждой внутренней мезонной линии соответствует вторая степень импульса
в знаменателе за счет функции распространения ^ •
Это дает вклад в D, равный —2Pt.
4. Каждой внутренней фотонной линии также соответствует вторая степень в
знаменателе за счет функции распространения фотона 1 /р2. Это дает вклад
в D, равный —2Qt,
Отсюда для D получается выражение
D = 2Pt -f 2Qi — ЗС -г 4. (16.14)
Выражение (16.14) для D можно выразить через число внешних линий,
поскольку
2 Qi + Qe^C (16.15а)
и
2П; + Пе = 2С. (16.156)
Подставляя Qt и Pt из формул (16.15а) и (16.156) в (16.14), находим
D = A — Pe — Qe. (16.16)
оа*
564
Гл. 16. Количественная теория перенормировок
Как и в случае взаимодействия фермионов с бозонами, коэффициент при С
обратился в нуль, и, следовательно, степень расходимости не зависит от
числа вершин.
Теперь перечислим все примитивно расходящиеся диаграммы, встречающиеся в
скалярной электродинамике. В этой связи нужно напомнить, что мезонная
линия никогда не кончается (благодаря сохранению заряда), и поэтому число
Ре всегда четное.
Случай Ре = 2, Qe = О
На фиг. 100 показана простейшая диаграмма этого рода. По формуле (16.16)
в этом случае D = 2. Квадратичная расходимость собственной энергии бозона
со спином 0 на самом деле реализуется. Напомним, что
Фиг. 100.
собственная энергия фермиона за счет взаимодействия с фотонами расходится
логарифмически, тогда как в классической теории собственная энергия
электрона расходится линейно. Это прямое указание на то, что никаким
классическим оценкам собственной энергии фермиона или бозона нельзя
доверять.
Случай Ре = 2, Qe = 1
Одиофотонная вершинная диаграмма наинизшего порядка показана на фиг. 101,
а. Она приводит к лэмбовскому сдвигу для заряженного мезона.
Фиг. 101.
Как и в случае спина %, существуют три диаграммы, показанные на фиг. 101,
которые порознь расходятся линейно (D = 1). Однако сумма всех трех дает
конечный результат.
Случай Ре — 2, Qe = 2
Как видно из фиг. 102, данный случай соответствует радиационной поправке
к комптон-эффекту, т. е. к рассеянию фотона на бозоне со спи-
§ 1. Примитивно расходящиеся диаграммы
565
ном 0. По формуле (16.16) получаем D = 0. Однако в действительности
благодаря калибровочной инвариантности отличным от нуля оказывается
только коэффициент при члене следующего порядка с D — —2. Поэтому
результат получается сходящимся.
'ч
X
Фиг. 102.
Случай Ре = 0, Qe — 2
Этот случай соответствует собственной энергии фотона, т. е. еще одному
возможному вкладу в поляризацию вакуума — вкладу за счет рождения
виртуальных пар заряженных мезонов, как это показано на фиг. 103. Здесь D
= 2. В действительности квадратичной расходимости нет благодаря
калибровочной инвариантности. В разложении тензора поляризации остается
