Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
импульсом к2 и ' нуклон со спиновым индексом s2 и импульсом р2, т. е.
|Ф/> = й*2(р2)а*(к2)|Ф0). (13.47)
Это достигается следующим образом:
а) нуклон в промежуточном состоянии испускает конечный мезон и сам
переходит в конечное состояние (процесс Ъ*Ъа*)\
1) Реальные процессы первого порядка не могут осуществляться, поскольку в
этих процессах не выполняется закон сохранения энергии и импульса.
410
Гл. 13. Приведение S-матрицы к нормальной форме
б) нуклон в промежуточном состоянии поглощает начальный мезон (процесс
Ъ*Ъа)\
в) образованный в промежуточном состоянии антинуклон аннигилирует с
начальным нуклоном, а начальный мезон поглощается (dba);
г) образованный в промежуточном состоянии антинуклон аннигилирует с
начальным нуклоном, и рождается конечный мезон (dba*).
Соответствующие хронологически упорядоченные диаграммы Фейнмана
изображены на фиг. 20.
Конечное состояние ВзаимоЭепстопе Н,
Рг
Промежуточное состояние
ВзттоЭейстоие Н, --------
Начальное состояние
(Ь'Ьа)
Pi +ki
уг
ib'bat
Время
Фиг. 20.
Рассмотрим сначала вклад в Rfl от процесса (а). Полезно переписать
матричный элемент (13.45) для этого процесса в виде
Т?)а=(Ф/, #(-а2> 1
Ма1)ф,),
(13.48) Cat)
1 Ei — Н0-\-1г
где Et = Е (pi) + со (kt) — энергия начального состояния1). Оператор Н\
дается выражением
йГ>- S d’» i d’P’s «(щ^)1* X
2
X 2 6<3)(p' —p —к)6*(р')&8(р)а(к)щг(р')у5щ5(р), (13.49)
S, r=l
и оператор H\a2> определяется формулой (13.44) с Г = у6. Теперь,
используя формулы (13.46) и (13.49) и свойства вакуума
О = а (к)| Ф0) = bs (р)| Ф0) = ds (р)| Ф0),
Р Строго говоря, следовало бы включить в выражение (13.48) множитель (1 —
Р{), где Pi — оператор проектирования на начальное состояние. Однако (Фг,
Л/Фг-)=0.
§ 2. Рассеяние нейтрального мезона на нуклоне
411
легко найти промежуточное состояние | Ф™’) = Н\а1) | Фг). Состояние
1 ФУ) = Ъ* (р') bs (р) а (к)1 Фг> (13.50а)
с учетом перестановочных соотношений для операторов b и а приобре-
тает вид
Ф'У) = ъ* (р') bs (р) а (к) a* (kj) Ь*ч (р4)! Ф0) =
Отсюда
= 6<3> (к - к,) 6SlS6(3> (р _ Р1) Ь* (р')| Ф0). (13.506)
Я(,а1)1ф G (_______________________________—
___________________________У/2х
' m ' (2я)3/2 V 2?,(pj-J—kj) Е (pj) co(k4) J
2
x 2 wr (P‘ + k‘) Ys®S»(Pi) К (Pi + ki)| Ф0); (13.51)
r— 1
1ФУ) является однонуклонным состоянием с импульсом pj-f-kj. Оператор Н0,
действуя на это состояние, дает Е (pi + kt) | ФУ). Поэтому
действие оператора (?; — H0 + is)~l на состояние |ФУ) приводит
К [^-^(р. + копФУ).
Используя ту же методику, легко показать, что действие оператора Н\а2) на
последнее выражение приводит к
Н\а2) (Ei - Я0 + ie)"1 Я/а1) | Ф;) =
2
G2 43 С J37. М f Л/2 ^1/2
X
2 (2л)з
V=‘
У { d3k М (__________________________________________________________—
_________________________________________________________Y
^ J -#(Pi + ki) V со (к) со (kj) Ё (Pi + ki— к) Е (Pl) )
v ^ (Pi+ki~k) y5wr (Pi+ki)] К (pt+kQ у5ц;81 (pt)] E (Pi) + m (ki) — E (pi
+ ki) + ie
хЬ?(р1 + к1-к)а*(к)|Ф0). (13.52)
Наконец, чтобы найти мы должны вычислить матричный элемент
<Ф/, Ь* (pi + kj — к) а* (к) Ф0) = (б*2 (р2) а* (к2) Ф0, Ь* (рг + к4 — к)
а* (к) Ф0) = = 6S2S6(3) (р2 - Pi - к, + к) б® (к2 - к). (13.53)
Следовательно,
рта _ G2 М f__________________________№_____________у/2
fl 2(2я)3 Ei^+ki) ^ffl(k2)ffl(ki)B(p2)iJ(Pi)y
2
ч^А«>/„ „ К ? К N V [“S2(P2)Y5^(Pl+kl)l
K(Pl+kl)Y5^Sl(Pl)] мч
ХО (p2_Pl_kH-k2) 2j ---------------------------------+ ' {16^>
г=1
Е (Pi) + <° (ki)—Е (pi + k^-j-ie
Множитель с 6-функцией соответствует сохранению полного импульса в этом
процессе.
Можно интерпретировать полученный матричный элемент следующим образом:
множитель
М V/2 wr (р') у5и?1 (pj) (13.55)
У 2 (2я)9 V w(ki)?'(Pi)?'(P')
соответствует поглощению мезона с импульсом к4 (сомножитель
[2 (2я)3со (kt)]_1/2) начальным нуклоном с импульсом р4, переходящим в
состо-
/Г G г ЛЯ V/2~r , ,, , , ч ]
яние с импульсом р ^сомножитель ^ (р ) Е (р')) (Р ) ^5® 1
(Pi) J •
412
Гл. 13. Приведение S-матрицы к нормальной форме
Так как в этом процессе импульс сохраняется, то появляется множитель
(2я)3 б(3) (р' — pt — ki). Аналогично, множитель
( ш <ь.) ЕДр") Б <р') )V*S-(Pi>W»4P') (13-56)
У 2 (2я)9 Ч “ (k2) Е (р2) Е (р
соответствует матричному элементу перехода нуклона из состояния (р'г) в
конечное состояние (рг^г), сопровождаемого испусканием мезона с импульсом
к2. Импульс снова сохраняется, и поэтому возникает множитель (2я)3 б<3)
(р2 -j- k2 — р'). Наконец, после деления на Et — Ет -f- ге [в нашем
примере ?„ = ?(р')] нужно, следуя теории возмущений, просуммировать по
всем промежуточным состояниям С что соответствует
1,2
здесь операции ^ Эта процедура снова приведет к (13.54).
Г
Используя эти соображения, можно сразу же выписать матричный элемент,
соответствующий диаграмме фиг. 20,6. Здесь начальный нуклон сначала
испускает конечный мезон с импульсом к2, а сам переходит в состояние с
импульсом р4 — к2. Поэтому в промежуточном состоянии находятся два мезона
