Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
поскольку для определения производной по времени требуется выделенная
лоренцева система отсчета.
Обобщение состоит во введении понятия общей пространственноподобной
поверхности вместо «плоской» поверхности t = const. Единственное условие,
которому должна удовлетворять такая поверхность, заключается в том, что
нормаль к ней в любой точке ж, п11(х), должна быть времени-подобной, т.
е. (ж) пР (ж) > 0. Это означает, что никакие две точки на поверхности не
могут быть связаны световым сигналом, или, другими словами, любые две
точки поверхности разделены пространственно-подобным интервалом.
Обозначим такую поверхность через о. Каждой точке х этой поверхности
можно приписать время t (х), называемое ее локальным временем. В том
пределе, когда поверхность становится плоской, каждая точка имеет одно и
то же время t, равное координате плоскости t = const. Теперь само собой
возникает естественное
§ 1. Вводные замечания общего характера
403
обобщение | ? (t)) — переход к ^(^(х))). Затем можно рассматривать
основное уравнение
ibdt\'?(t)) = HI(t)\'?{t)) (13.24)
как результат суммирования бесконечного ряда уравнений, полученных при
помощи введения локального времени для каждой точки пространственно-
подобной поверхности. Если выразить гамильтониан взаимо-
действия в виде суммы по малым трехмерным ячейкам ДЕ пространственно-
подобной поверхности о
Hi (t) = ^Zmi (a) HV,
(13.25)
то уравнение, которое соблюдается в малой ячейке вокруг пространственно-
временной точки х, t (х), может быть записано в виде
з| ?(*(*))>
ih
dt (х)
??Ф&! (х) ДЕ| ?(<(х))>;
(13.26)
это уравнение представляет собой обобщение уравнения (13.24), ибо если
изменение | Y (t)) при бесконечно малом сдвиге всей поверхности t = const
как целого определяется интегралом
^ S?i (я) (Рх,
то разумно считать,
что вариация IT (t (х))) в точке х, t (х) должна определяться плотностью
энергии взаимодействия (х) ДЕ в бесконечно малой окрестности точки х.
Так как произведение ДЕt (х) является инвариантом, то напрашивается
следующий инвариантный метод дифференцирования. Рассмотрим функцию
пространственно-подобной поверхности | ? (t (х))) = | Т (о)). Сравним
значения этой функции на двух пространственно-подобных поверхностях о и
о', которые отличаются друг от друга только в окрестности
пространственно-временной точки х на бесконечно малую величину (фиг. 18).
Теперь определим инвариантную операцию
6о
m
AiAV-*0
= lim
AtAV->0 = lim -
I T (t (х) + Лг (x))> —| Y (t (x))>
с jj d3x At (x) xv
| У (o')) —| У (a)> ^ cAt (x) AV
T (o')) —|T (0))
Q (x)
(13.27)
Здесь Ща;) — четырехмерный объем, заключенный между поверхностями 0 и о',
причем 0'— пространственно-подобная поверхность, полученная
404
Гл. IS.. Приведение S-матрицы к нормальной форме
путем малой деформации поверхности а вблизи точки х. При переходе к
пределу Q (х) стягивается к точке х. Поэтому можно переписать уравнение
(13.26) в виде
= И>- (13.28)
Это уравнение ковариантно, так как гамильтониан является инвариантом в
случае взаимодействий без производных (относительно взаимодействий с
производными см. замечания, приведенные ниже), и для определения понятия
пространственно-подобной поверхности не требуется задания какой-либо
лоренцевой системы отсчета. Таким образом, мы
написали уравнение движения системы без ссылок на какую-либо част-
ную систему координат. Уравнение (13.28) обычно называют уравнением
Томонага — Швингера.
Для существования решений уравнения (13.28) должно быть выполнено
следующее условие интегрируемости:
a»|Y(g)> а»| ЧУ (q)> п
бст(х)бст(х') &а(х')да(х) Vio.z,»;
что по существу ограничивает область изменения а (х). В свою очередь для
соблюдения условия (13.29) необходимо, чтобы
Ш1(х), Жх{х')]= 0 (13.30)
для точек х и х', лежащих на пространственно-подобной поверхности сг.
Операторы поля подчиняются таким инвариантным перестановочным
соотношениям, что условие (13.30) автоматически удовлетворяется для всех
локальных взаимодействий без производных. Когда плотность лагранжиана
взаимодействия содержит производные по времени от полевых переменных
(например, в случае взаимодействия заряженного бозонного поля с
электромагнитным), необходимо несколько обобщить описанный выше метод. В
этом случае для того, чтобы условие интегрируемости было выполнено,
плотность гамильтониана взаимодействия должна явно зависеть от
поверхности (см., например, статьи Кролла [465] и Мэтьюза [538]). Из
условия интегрируемости следует, что решение существует только тогда,
когда поверхность а является пространственно-подобной, так как коммутатор
(13.30) не равен нулю, если точки х и х’ разделены времени-подобным
интервалом. Кроме того, это условие гарантирует, что если
пространственно-подобная поверхность становится плоскостью t = const, то
каждое решение уравнения (13.28) удовлетворяет и уравнению (13.24).
В дальнейшем нам не придется в явном виде пользоваться этими
поверхностями. Они не упрощают теорию и не вносят дополнительного вклада
