Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
(см. гл. 7, § 7).
Изложенное выше эквивалентно утверждению, что все лучи, принадлежащие
только одному подпространству, реализуемы, а лучи, обладающие -проекциями
на два или более подпространств, не могут быть реализованы. Если не все
лучи реализуемы, то ясно, что нет измерения, которое привело бы к этим
нереализуемым состояниям. Поэтому они не могут быть собственными
функциями какого-либо эрмитова оператора, соответствующего наблюдаемой
величине для данной физической системы. Следовательно, чтобы быть
наблюдаемым, эрмитов оператор должен удовлетворять некоторым условиям
(правилам суперотбора). В обычной элементарной квантовой механике
используется одно когерентное пространство, так что можно различить любые
два луча, и все самосопряженные операторы наблюдаемы.
Дальше, в квантовой механике постулируется, что операторы координаты и
импульса частицы подчиняются следующим перестановочным соотношениям:
[qi, РА = (С /= 1,2,3). (1.4)
Существует математическая теорема (см. книгу фон Неймана [813]), согласно
которой для частицы без внутренних степеней свободы эти операторы
неприводимы, что означает, что полное гильбертово пространство не имеет
подпространств, которые бы оставались инвариантными при действии этих
операторов. Это свойство эквивалентно утверждению, что любой оператор,
коммутирующий с р и q, кратен единичному и что всякий оператор является
функцией р и q. Описание системы в терминах наблюдаемых р и q является
полным.
Наконец, в квантовой механике постулируется, что динамическое поведение
системы описывается уравнением Шредингера
г?id(|; t)—H |; t), (1-5)
где dt = d/dt, а гамильтониан системы Н служит генератором преобразования
сдвигов по времени. Здесь мы имеем в виду следующее. Предположим, что
изменение вектора состояния со временем может быть получено действием
§ 2. Шредингероеская и гейзенберговская картины движения
17
оператора U (t, t0) на начальное состояние |;?0), т. е.
| t) = U(t, t0)\t0), (1.6а)
U(t0, t0) = i. . (1.66)
Для сохранения вероятности требуется, чтобы норма вектора не изменялась
со временем
(*|0 = (*о|*о> =
= (fol U*(t, t0)U(t, t0)\t0), (1.7)
и, следовательно, чтобы
U*(t, t0)U(t, t0)=l. (1.8а)
Однако это условие еще не гарантирует унитарность U. Для унитарности еще
нужно, чтобы выполнялось соотношение
U (t, t0)U*(t, ?0)=1. (1.86)
Это условие будет удовлетворено, если для U выполняется грунповое
свойство
U(t, h)u (tu t0) = U(t, t0). (1.9)
Действительно, если в равенстве (1.9) положить t —10 и предположить
справедливость его при tv < tlt то найдем
U (t0, ti)U (tu t0) = l, (1.10a)
откуда
U(t0, ti) = U 1 (tu t0). (1.106)
Умножая (1.10a) слева на U* (tg, tt) и используя (1.8a), получаем
U(tu t0) = U*(t0, ti) = U^(t0, и). (1.10b)
Следовательно, оператор U — унитарный.
Пусть t бесконечно мало отличается от t0, и t — t0 = bf, тогда
с точностью до первого порядка по 61 можно написать
U(t0+6t, t0) = l-^-H6t. (1.11)
Для унитарности U оператор Н должен быть эрмитовым. Оператор Н имеет
размерность энергии. Таким образом, при бесконечно малом изменении
времени равенство (1.6а) можно переписать в виде
\t0 + 6t)-\t0) = —l-H&t\t0). (1.12а)
В пределе бt—>0 это равенство превращается в уравнение (1.5), так как по
определению
lira (бt)'1 (| t + 67) - 11)) = dt 11). (1.126)
б (-+p
§ 2. Шредингеровская и гейзенберговская картины движения
Выше, приводя сведения по квантовой механике, мы отмечали, что состояние
Системы в некоторый заданный момент времени t определяется
результатами всех возможных экспериментов над системой в этот
момент
18
Гл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
времени. Вся информация содержится в векторе состояния | Os = I (t))~
Развитие же системы во времени находит свое выражение в том, что» вектор
состояния зависит от времени и изменяется по закону, который определяется
уравнением Шредингера
Hs\Vs(t)) = iKdt\ys(t)). (1-13>
Операторы, соответствующие физическим наблюдаемым, Fs, от времени не
зависят; они одни и те же для всех моментов времени: dtFs— 0. Эти условия
служат определением шредингеровской картины движения, принадлежность к
которой мы отмечаем индексом S (см. книгу Дирака [181]).
Хотя операторы от времени не зависят, их средние значения в каком-либо
состоянии в общем случае зависят от времени. Если обозначим среднее
(Fs) = (Vs(t)\Fs\Vs(t)), (1.14)
то
ih~(Fs) = (ys(t)\lFs, Hs]\W8(t)). (1.15).
В шредингеровской картине можно ввести оператор Fs такой, что
по определению
(h)^(Fs). (1.16>
Преобразуем теперь вектор состояния I^Fs^)) при помощи зависящего от
времени унитарного преобразования V (t):
\<D(t)) = V(t)\V8(t))t (1.17 а>
V(t)V*(t) = V*(t)V(t) = 1, (1.176)
V*(t) = V~1(t). (1.17в)
Воспользовавшись уравнениями (1.13) и (1.17а), найдем, что |Ф(г))
подчиняется следующему уравнению:
йФ|Ф(«))= [ihdtV (t)V^(t) + V (t) HsV'1 (t)\ |Ф(0)- (1.18)
Если мы выберем зависящий от времени унитарный оператор V,
удовлетворяющим уравнению
- ihdt V (t) = V (t) HSV~' (t) ? V (t), (1.19)
