Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
заданным внешним электромагнитным полем А» (х), оказывается, что вариация
лагранжиана относительно А» уже не произвольна. Правильное описание этого
случая дается лагранжианом
Х-Хт-р(х)А1(х), (10.47)
где Хт — лагранжиан заряженных полей, а /^ — соответствующее выражение
для их тока при наличии электромагнитного поля,
В качестве иллюстрации к этим замечаниям рассмотрим случаи заряженного
поля Клейна — Гордона, взаимодействующего с электромагнитным полем. Мы
отмечали ранее, что плотность лагранжиана для этого поля имеет вид
Хт = — |г2ф*-ф + 9цф*-9^ф. (10.48)
В соответствии со сказанным выше, для получения правильного лагранжиана,
описывающего взаимодействие электромагнитного поля с этим заряженным
бозонным полем, мы должны заменить в лагранжиане (10.48) производную
согласно правилам (10.46а) и (10.466) и прибавить лагранжиан
электромагнитного ноля. Мы получим, таким образом, для полного
лагранжиана системы выражение
(? - <«**) • <»•<*>
Варьирование лагранжиана X по А» приводит к уравнениям для
электромагнитного поля
5 ^ (10-5°)
dxv d{dvA^) ~ “ дА» ’
тогда как варьирование но ф и ф* приводит к уравнению Клейна — Гордона
при наличии взаимодействия с электромагнитным полем. Урав-
г) Вопреки утверждению автора теория нейтрального массивного векторного
поля допускает калибровочно инвариантную формулировку [914]. — Прим. ред.
268
Гл. 10. Взаимодействие между полями
нение (10.50) указывает, что правильное определение тока как источника
электромагнитного поля дается выражением
дХ
дА^
В этом примере
к- (Ю.51)
/и= . (10.52)
Этот ток сохраняется в силу уравнений движения. Он является тем
сохраняющимся током, который получается как следствие инвариантности
полного лагранжиана (10.49) относительно калибровочных преобразований
первого рода, т. е. преобразований
ф—>е4Хф, (10.53а)
и
Ф* —>е-ййр*, (10.536)
где фазовый множитель % не зависит от х. Из того факта, что
сохраняется, т. е. 3^ = 0, следует, что величина (?=^ da^
(х) к (х) не за“
а
висит от о и есть интеграл движения. Используя одновременные
перестановочные соотнопгения
1?М. *(*')]-„=;=-[ф М.
= [ф(г), ^ф* (г') 4- ге^1о (^') ф* =
= г6<3>(х-х') (10.54а);
И
[ф*(я), л* №.=*;= [фЧ*).1*^^]^.=
= [ф* (х), ^ф (х') — ieA0 {х’) ф (а:')Ц=зс. =
= гбсз) (х — х'), (10.546)
убеждаемся, что
[<?, ф (ж)] = — еф(аг), (Ю.55а>
[(?, ф* (а:)] = + еф* (х). (10.556)
При выводе уравнений (10.55а) и (10.556) в качестве гиперповерхности о
выбрана гиперповерхность xQ = const. Эти уравнения снова приводят к
интерпретации ф и ф* как операторов рождения и уничтожения, a Q — как
оператора заряда. Мы вернемся к этим замечаниям при обсуждении
заряженного поля Дирака.
Выражение для лагранжевой плотности (10.49) обычно записывается в виде
X = X т + X ет + (10.56а)
где Хет — лагранжиан свободного электромагнитного поля, a Xi — лагранжиан
взаимодействия
%i = -1е(“'.ф-ф*.-^;) Им. + е2И^ф*-ф; (10.566)-
§ 3. Электромагнитные взаимодействия
269
Jfj имеет вид /д (х) (х), причем ток /д дается выражением (10.52).
Появление члена e2AlLA'1 ср*-ср характерно для взаимодействия бозонного
поля с электромагнитным. Он соответствует в не релятивистском пределе
члену А2 в уравнении Шредингера при наличии электромагнитного поля.
При помощи изложенных в § 6 гл. 7 методов можно опять развить гамильтонов
формализм. Как отмечалось выше, импульсы, канонически сопряженные к
переменным ср, теперь будут зависеть от электромагнитного поля.
Лагранжева плотность для взаимодействия поля Дирака с электромагнитным
запишется в виде
1 дА { Г ~ f д \ ~Д
Х -^[ф^А ^r-^eAдJф + mф.ф] +
+ + — ?тф-ф] ==,#m +^«^ф-ефу^-фАд, (10.57)
где — лагранжиан свободного поля Дирака. Варьирование X по
электромагнитным потенциалам теперь приводит к уравнению
? A\i= -ефУд-ф- (10.58)
Аналогично, путем варьирования по ф и ф выводятся уравнения Дирака для
фиф при наличии электромагнитного поля:
(iy^ + {х)) ф (а:) — тф (х) — 0, (10.59а)
(jd^ — (х)) ф (х) ^ тф (х) = 0. (10.596)
Уравнение (10.58) показывает, что для тока при наличии электромагнитного
поля следует взять выражение
/в(®)= -уЖя)Уд, ФИ), (10.60)
которое формально совпадает с выражением для тока в случае
невзаимодействующих полей (8.83). Оно, однако, не в точности такое же,
так как в выражении (10.58) фиф подчиняются уравнениям (10.59а) и
(10.596), содержащим электромагнитные потенциалы, тогда как в выражении
(8.83) ф подчиняется уравнению для свободного поля.
Уравнения (10.58) и (10.59) являются уравнениями движения для операторов
поля в гейзенберговской картине, в которой вектор состояния системы |
Ф')не зависит от времени. Канонический формализм (вместе с обычной связью
спина со статистикой) позволит нам дать следующие одновременные
перестановочные соотношения для операторов поля1):
[ф(ж), ф(а:')]+Хо=^ =у0б(3) (х-х'), ' (10.61а)
[ф(ж), ф {х')]+х-х,о — [ф (х), ф (?')]+*„=*' =0, (10.616)
[Ад (s), Av> о (а;/)]ж0=ж' = —ihcglLV6™ (х-х'), (10.61в)
[ф (х), Ад {х'))х-к = [ф {х), Ад (ж'Ж,,^ = 0. (10.61 г)
